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什么是微分形式不变性？一阶微分形式不变性与链式法则是等价的吗（两者可互推？）？两...

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什么是微分形式不变性？一阶微分形式不变性与链式法则是等价的吗（两者可互推？）？两者有什么区别？

老师没讲，自己看书理解了下，但总感觉少点什么。就来问问。摘自张筑生《数学分析》： [图片] [图片] [图片] 基于以上，我是把一阶微分不变性与链法…

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数学话题下的优秀答主

一阶微分不变性，符合高等数学的概念的一贯特点，听上去云山雾罩，一旦明白了，就会觉得，这特么不是理所当然么？

一元函数一阶微分的形式不变性：

设函数 $y=f(u)$ 可微，则无论u为自变量还是可微函数： $u=\varphi (x)$ ,其一阶微分的形式： $dy=f'(u)du$ 不变

讲这个问题之前建议大家先看下微分和导数的定义。

1 $u$ 为自变量

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2 $u$ 为可微函数

如果是可微函数呢？

函数 $y=f(g(x))$ 函数的导数怎么求，我们来看一下:

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可以得到 $f(g(x))$ 关于 $g(x)$ 的导数:

$\frac{df(g(x))}{dg(x)}=f'(g(x))$

为了得到 $f(g(x))$ 关于x的导数，我们需要将 $d(g(x))$ 想办法换为 $dx$ 。

$d(g(x))=g'(x)dx$

可以得到 $\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}$

通过这个方式我们得出了链式法则： $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 。

链式法则和微分形式不变性，确实可以类推，其都来源于微分的定义。

3 一阶微分微分形式不变性

其实上面推出链式法则的图，已经说明了一阶微分的不变性

只是在这里，将g(x)整体看作，得到的微分是函数关于这个整体的微分。

下面来看一个例子来具体了解一下：

求 $y=x^2$ 的微分。

这就不过多描述了，都知道结果为 $dy=2xdx$ 。

将x轴的对应关系改变， $x^2$ ————u,图像变成了下面。

图像改变，dx也改变为du，微分形式不变

变化过后的微分变成了这样

4 二阶微分不具有不变性

4.1 二阶微分会多出一部分

因为没有看到严格的二阶微分定义，所以这里为了 $d^2y$ 读着方便，称为二阶微分。

当u是自变量时，二阶微分具有不变性， $dy=f'(u)du,d^2y=f"(u)du^2$ 。
当u是可微函数，二阶微分不具有不变性。 $dy=f'(u)du,d^2y=f"(u)du^2+f'(u)d^2u$ 。

u是可微函数时具体的推导过程如下：

如 $y=f(u),u=g(x)\implies dy=f'(u)g'(x)dx$

$\implies d^2y=f"(u)g'(x)g'(x)+f'(u)g"(x)dx^2$

因为 $du=g'(x)dx,d^2u=g"(x)dx^2$

$\implies d^2y=f"(u)du^2+f'(u)d^2u$

从推导中可以看出，多出一部分的原因就在于u是一个可微函数。

4.2 一阶幂函数形式不变性

我们观察下幂函数:

$y=x$ 的时候有， $y^1=y^1,y^2=x^2,y^3=x^3$ 。
$y=x+1$ 的时候有， $y^1=x^1+1^1,y^2=x^2+1^2+2x,y^3=x^3+1^3+3x^2+3x$ 。

根据观察，马同学提出了一元函数一阶幂函数的形式不变性：

设函数 $y=f(u)$ ，则无论 $u$ 为自变量还是复合函数,其一阶幂： $y^1$ 等于 $u$ 的各个分项的一次方的和。

$y=x+1$ 时，根据一阶幂函数的形式不变性有， $y^1=x^1+1^1$ 。

二阶幂函数就不符合这个规则， $y^2\neq x^2+1^2$ ，因为多出了一部分 $2x$ 。

4.3 歪理邪说

把一阶微分形式不变性和一阶幂函数形式不变性拿来类比，很显然是个歪理邪说，不过，我觉得内在的原因是一样的，对我而言这可以很好的帮助我去想象，希望能对你有所帮助。

5 链式法则的一个坑

根据链式法则，我们可以列出这么一个式子 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 。

第一反应，将du约掉，可以得到 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}$ ?能这样做吗

来看下面的例子， $f(x)=sin(cosx)$

我们可以看作这样 $f(u)=sinu,u=g(x)=cosx$

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从图中可以看到，分母中的 $du$ 代表的是自变量的微分，分子中的 $du$ 代表函数值的微分，两个虽然都使用符号 $du$ ，但两者画风不同，并不能约。

6 结论

一阶微分形式不变性为什么成立，一部分原因是微分的定义，更重要原因在于它仅仅是‘一阶’。

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