高数常见坑点：等价无穷小
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高数常见坑点：等价无穷小
知乎高数板块的热门话题之一，为啥不能像下面这么用等价无穷小：
发现了 ，回想起老师教过等价无穷小，这玩意和
等价！天呐噜我真强，快快用上！
自信满满翻了翻答案，然后不小心发现答案啊是二分之三(⊙o⊙)？
两个图告诉你正确用法和错误用法差在哪里。
错误的用法是认为
正确的用法是应该
所以等价无穷小的唯一正确用法是把整个式子乘上一个1，把1换成极限为1的式子，然后利用极限的四则运算法则完成约分。
等价无穷小这名字起的极其有误导性。等价无穷小，等价无穷小，物理老师教过我们等价就可以替换嘛。可以替换的无穷小，凭啥就有时候能替换有时候不能替换呢？
因为等价无穷小的本质是约分。为了这个约分，我们要用极限的四则运算法则，把被约分的式子和用来约分的式子乘在一起。
举例。比如：
这就是正确使用等价无穷小的姿势。
那为啥我局部用等价无穷小就不行呢？
照上面那个正确使用等价无穷小的延长版画个瓢：
诶咋是两项乘一项啊，没关系，苯宝宝会乘法分配律
以为是这样
结果是这样
所以等价无穷小的唯一正确用法是把整个式子乘上一个极限为1的式子，然后利用极限的乘法等于乘法的极限。
那为啥不在局部乘1啊？
所以说是想这么干？
乍看起来好像很有道理的样子哦
那为啥不行呢？
想一想看～
所以应该是
一个 在取极限符号的里头，一个
在取极限符号的外头，不是两个分式直接乘起来，这咋约分嘛。
那为啥不能利用减法的极限等于极限的减法，然后再局部乘1啊？
所以是想说这么干？
第一步就错了QwQ
等号前面是一个数，等号后面是 。一个数等于俩不是数的东西的差？这咋相等嘛。
请随我背诵一遍极限和减法交换定理：
然而 极限显然不存在（极限等于无穷是一种特殊的极限不存在情形）。所以两者不相等。
最近这个文章莫名其妙的火了起来，也有不少人问了些问题。针对这些问题我弄了几个练习。练习名称为：只利用极限的四则运算法则证明下面的等价无穷小用法正确，或者说明下面的等价无穷小用法不正确。
防止偷看答案分割线
- 用法正确。证明：
2. 有点跳步，然而用法正确。证明：
3. 不正确。因为
拆开之后，两个极限都是无穷，即两个极限都不存在。
（举这个例子因为假的等价无穷小替换有时候是能蒙对正确答案的，但是做法是错误的）
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