线性二自由度汽车模型的微分方程 - 静候佳茵

本部分内容系汽车理论第五章第三节，我做了一点整理和总结。

1. 二自由度

二自由度最开始是指侧向与横摆两个自由度。

下图是一个车辆坐标系下，车辆存在六个自由度：

• 沿x轴运动，前进运动
• 沿y轴运动，侧向运动
• 沿z轴运动，垂直运动
• 绕x轴转动，侧倾运动
• 绕y轴转动，俯仰运动
• 绕z轴转动，横摆运动

那么，如何将汽车的自由度限制到两个呢？

汽车理论给出了如下假设：

1. 忽略悬架的作用。
   • 汽车车身无法依靠减震器和弹性元件实现沿z轴的运动，无法上下振动。
   • 也没有所谓的独立悬架和非独立悬架之分，无法左右摇动，即绕x轴的侧倾运动。
   • 没有弹性元件也无法完成绕y轴的俯仰运动。
2. 汽车前进速度不变。
   • 也不用考虑沿x轴运动。因为之后汽车理论将用运动学和动力学的方式联立等式（理论力学的内容），而沿x轴速度不变意味着x轴方向的加速度为0，不用参与到联立的等式中。

上面两个假设限定了四个自由度，剩下的就是沿y轴的侧向运动和绕z轴的横摆运动，这就是汽车的二自由度。

2. 两轮汽车模型

下图是经典的简化得到的两轮汽车模型。质心为O，左边的是后轮，距离质心"轴距"为b；右边是前轮，距离质心"轴距"为a。汽车要向左转。

那么，为什么可以简化成下面的模型？主要假设是三条

• 忽略了悬架的作用，那么汽车车身可以看作是只做平行于地面的平面运动。
• 汽车侧向加速度ay≤0.4g，轮胎侧偏特性处于线性范围内。这一条说明，前(或后)轮的左、右两轮侧偏刚度相等，可以把左右轮压扁看成一个轮子，侧偏刚度是原来一个轮子的两倍。（这里忽略了悬架的作用，所以左右轮的垂直载荷相等，垂直载荷对侧偏刚度有一定影响）
• 不计地面切向力FX、外倾侧向力F_{Yγ}、回正力矩 T_Z、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚度的影响。

3. 运动学分析

图中三处蓝色线是车辆坐标系，全平面是大地坐标系。右下的两处车辆坐标系是t和t+Δt时刻的，汽车左转，质心向左运动，
左上角的车辆坐标系比较特殊，是用来分析使用的。虚线的x、y坐标轴是t时刻的，蓝色线的速度是t+Δt时刻的。t时刻到t+Δt时刻，沿该坐标系y轴速度分量变化为

由于Δ\theta很小，所以有

如果再忽略二阶微量，那么沿该坐标系x轴速度分量变化可以化简为

上式除以Δt，并且取极限，便是汽车质心绝对加速度在车辆坐标系Oy轴的分量

这里的w_r是横摆角速度。

4. 动力学分析

下图是二自由度汽车模型的俯视图。

下面是对该模型的一些说明：

• \delta是前轮转角(方向盘输入引起的)
• \alpha_1是前轮的侧偏角，\alpha_2是后轮的侧偏角
• \xi是航向角，\xi=\delta-\alpha
• u_1是前轮速度，u_2是后轮速度
• F_{Y1}、F_{Y2}是前、后轮的侧偏力，分别垂直于各自的车轮平面
• 点O'是此时两车轮的瞬心，是u_1和u_2垂线的交点。
• v_1是汽车的绝对速度，方向是根据oo'连线所确定的垂线方向
• 质心的侧偏角\beta=v/u，v是质心沿y轴的速度分量，u是质心沿x轴的速度分量

汽车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和为：

考虑到\delta较小，并且有F_{Y1}=k_1\alpha_1和F_{Y2}=k_2\alpha_2，所以上面的式子可以写成：

航向角可以近似成前轮速度的正切。v向可以看成是相对于质心的速度矢量加上一个旋转的切向速度(理论力学的内容~)。表达如下式：

于是可以表达前、后轮的侧偏角:

由此，可以得到汽车外力、外力矩和汽车运动参数的关系：

5. 运动微分方程

联立运动学和动力学方程，有：

其中I_Z为汽车绕z轴的转动惯量，\overset{·}{w_r}为汽车横摆角加速度。

整理可得二自由度汽车运动微分方程式：

该联立的方程式，包含了汽质量和轮胎侧偏刚度两方面的参数，能反映汽车运动曲线的基本特征。