欧拉函数原理

一、欧拉函数的引入

请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？
（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

二、欧拉函数的定义

• 定义： 欧拉函数φ(n)是一个定义在正整数集上得函数，φ(n)的值等于序列0，1，2，…，n-1中与n互素的数的个数。

特别的，φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

三、欧拉函数的性质

1. 当p是素数时，φ§=p-1。
2. 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数。
3. 当且只当n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。
   特别的，对于两个素数p,q， φ(pq)=(p-1)(q-1)。(RSA算法应用）
   当n＞2时,φ(n)都是偶数，也即φ(n)≡0（mod2)。
   简单证明，因为若n是质数p的k次幂，φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1
   当p为2时，pk-1必为偶数;
   当p＞2时，(p-1)必为偶数。

四、欧拉函数的计算方法

（一）解题思路

对于一个正整数N的素数幂分解N=P1q1P2q2…Pnqn，其中，Pi为素数（1≤i≤n)。
根据第二条性质得到：

φ(N)=φ(P1q1P2q2…Pnqn)=φ(P1q)φ(P2q2)…φ(Pnqn)

注意：每种质因数只有一个。
若n是质数p的k次幂，φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
简单证明：φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1

证明：
由φ(n)的定义值，φ(pk)等于从pk减去在1，…，pk中与p不互素的数的个数。因为p是素数，故φ(pk)等于从pk减去在1，…，pk中被p整除的数的个数。而在
1，…，p，p+1，…，2p，…，pa-1 * p
中，易知p的倍数共有pa-1个，即得φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1

（二）编程计算

利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。
欧拉函数和它本身不同质因数的关系：

欧拉函数: φ(N)=N{∏p|N}(1-1/p)
亦即:
φ ( N ) = N ∗ ∏ ( 1 − 1 / p ) （ P 是 数 N 的 质 因 数 ） φ(N)=N* ∏(1-1/p)（P是数N的质因数）

φ(N)=N∗∏(1−1/p)（P是数N的质因数），如：

φ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4； 10的质因数为2，5；
φ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8； 30的质因数为2，3，5；
φ（49）=49×（1－1/7）=42。 49的质因数为7。

五、欧拉函数扩展

设n≥1，则有∑φ(n)=n，其中d|n，d＞0.

六、欧拉函数应用

题目输入输出样例

输入样例：
2
7 5
10 2
输出样例：
1
4

题目思路及代码

思路： f(n)函数就是欧拉函数的定义，并且g(n)函数就是欧拉函数扩展的定理应用，因此只需要进行计算即可
素数筛核心代码：

void pri(ll N){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++tot]=i;
            vis[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1e5+10;
const ll maxm=1e8+10;
const ll mod=1e9+7;
ll n,k;
ll p[maxn];
ll vis[maxn];
ll tot;
void pri(ll N){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++tot]=i;
            vis[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}
ll ppi(ll x){
    ll ans=x;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(x%p[i]){
            continue;
        }
        ans=ans/p[i]*(p[i]-1);
        while(x%p[i]==0){
            x/=p[i];
        }
    }
    if(x>1){
        ans=ans/x*(x-1);
    }

    return ans;
}
int main(){
    pri(maxn-1);
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
            scanf("%lld%lld",&n,&k);
            k=(k+1)/2;
            for(int i=1;i<=k&&n>1;i++){
                n=ppi(n);
            }
            printf("%lld\n",n%mod);

    }
	return 0;
}

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“遇事不决可问春风，春风不语即随本心”的意思是：对一件事犹豫不决，就问春风该如何做，春风给不出答案，就凭自己本心做出决断。“遇事不决可问春风，春风不语即随本心”一句出自网络作家“烽火戏诸侯”的《剑来》，其原文是：“遇事不决，可问春风。春风不语，遵循己心”。

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