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解释常见的统计分布

 2 years ago
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分布是数据生成之母，这里梳理常见的概率分布。

bernoulli distribution

p(k)=pk(1−p)1−k 

Categorical distribution

bernoulli distribution 分布的多元形式

alias multi-bernoulli distribution，Categorical distribution

f(x|p)=n∏i=1p[x=i]i

binomial distribution

f(x)=(nk)pk(1−p)n−k

bernoulli distribution 分布的多次形式

n∑k=1Xk∼B(n,p)

multi-nomial distribution

bernoulli distribution 分布的多元、多次形式

Pr(X1=x1,…,Xk=xk)=n!x1!x2!…xk!px11…pxkk

其中满足，

k∑i=1xi=n

Dirichlet distribution

f(x)=Γ(∑ki=1αi)∏ki=1Γ(αi)k∏i=1xαi−1i

Poisson distribution

f(x=k;λ)=λke−λλ!

二项分布的极限

f(x;a,b)={1b−aa≤x≤b0x<aorx>b

Cauchy distribution

f(x;a,b)=1(x−a)2+b

Exponential 分布

f(x;λ)={λe−λxx≥00x<0

Laplace 分布

f(x|μ,b)=12bexp(−|x−μ|b)

Normal 分布

f(x|μ,σ2)=1√2πσe−(x−μ)2/2σ2

Gamma 分布

f(x;α,β)=βαxα−1e−βxΓ(α)

其中x>0α,β>0可以看做是指数分布家族的一般形式

Beta 分布

f(x;α,β)=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1

B(α,β)是B函数。

grumbel 分布

f(x;z)=1βe−(z+e−z) z=x−μβ

power

f(x,c)=cxc−1

x∈[0,1]

卡方分布也称为抽样分布。如果 x 是独立的, 标准正态分布, 那么

Q=k∑i=1x2i Q∼χ2(k)

其概率密度函数为

f(x;k)={xk2−1e−x22k2Γ(k2),x>00, otherwise  F(x;k)=γ(k2,x2)Γ(k2)γ(s,x)=∫x0ts−1e−tdt X=U1/d1U2/d2f(x;d1,d2)=1B(d12,d22)(d1d2)d12xd12−1(1+d1d2x)−d1+d22

student’t 分布

X1,…,Xn∼N(μ,σ2) ¯X=1nn∑i=1Xi S2=1n−1n∑i=1(Xi−¯X)2

那么随机变量

Y=¯X−μS/√n

服从 t 分布

f(t)=Γ(ν+12)√νπΓ(ν2)(1+t2ν)−ν+12

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Gumbel_distribution

[2] http://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_distribution


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