无法用语言描述的数字

问题是这样的：是否存在这样的数字，我们知道它存在，却无法用语言描述它？

先抛出结论：存在。

要证明这样的数字存在，我们需要先定义一下什么是“可描述”，在这儿，我们采用一个简单粗暴的定义：可以使用有限个字符精确指定的事物，被称为可描述。对于数字来说，即是可以使用有限个字符精确表示的数字。

比如各个自然数：1、2、3……，小数：0.5、0.˙3 ……，分数：13、1729 ……，无理数：√2、√3 ……，等等，都是可以用有限个字符精确表示的。

一些特殊的数甚至还有专门的名字，比如圆周率 π，自然常数 e，这一些自然也是可描述的，它们的名字就是对它们的描述。

还有一些比较复杂的数没有专用名字，但可以用算式精确表示，比如 cos(√75)、1−13+15−17+19−…、……，等等，也是可描述的，这些算式就是对它们的描述。

但如果只给出一个数字的前面 n 位，却不知它后面的数字是什么，则不能说这是对这个数字的描述。比如 0.966554122907…… 就不是一个描述，因为它不能精确指定一个数字。就好像在班级里，你可以说“学号是 19 的同学”，大家能知道你说的是谁，不会有歧义，但如果你说“学号是 1 开头的同学”，一般就会有几位同学符合条件，无法知道你在说谁了。

简单来说，要描述一个数字，你要么直接给出它的精确值，要么给出它的命名，要么给出一个能得到它的值的算式或者算法。

这儿有一个有意思的悖论，如果真的存在不可描述的数字，并且我们找到了这样一个数字，那么这个数字马上会变成可描述的，比如就将它命名为“那个由 oldj 在某日上午 10 点找到的数字”。这个描述看似不精确，但结合上下文以及语境，的确是可以锁定某个具体的数字的，于是，我们也认为这个数字可描述了。

那是不是说就不存在不可描述的数字了呢？

自然不是，因为我们可以找到一个、两个这样的数字，甚至可以在一定规则下找到无穷多个这样的数字，这些数字一旦被找到之后就自动变成可描述的了，但无论我们如何努力，仍然会有无穷多个数字无法被我们精确找到。

简单来说，我们的语言只有有限个字符，所能生成的所有的描述语句（包括各种算式、算法），尽管可能有无数种组合，却是可数的，也就是说，能以某种方式，与 1、2、3…… 这样的自然数一一对应起来。

像 1、2、3…… 这样的自然数，虽然可以一直增长到无穷大，数量上是无穷的，但却是最“小”的一种无穷（ℵ0），而数轴上的实数的数量，是一种更大的无穷，是不可数的。

关于实数为什么不可数，有很多精彩的证明，其中一个证明如下：

取 (0,1) 间的实数，假设实数是可数的，那么我们一定能找到某种方法，将 (0,1) 间的实数进行排序编号。不失一般性地，假设这种排序编号如下：

此时，根据定义，(0,1) 中的任何一个数字，都可以从上面这个表中找到，不会有遗漏。

但我们总是可以构造出一个新的数字 x，使得 x 也在 (0,1) 之中，但小数点中的第 1 位与上表中编号 1 的数字的第 1 位不同，第 2 位与上表中编号 2 的数字的第 2 位不同，……第 n 位与上表中编号 n 的数字的第 n 位不同。比如这样一个数：

x=0.41520……

注意 x 与表中的每一个数字都不同，因为它与这些数字之间总是至少有一位数不一样：

这就表明不可能构建出这样一个表格，能将 (0,1) 之间的数字全部毫无遗漏地排序编号，也即，(0,1) 间的所有数字是不可数的。

从上面的分析我们可以知道，一定存在无法用有限个符号精确描述的数字。即总是会存在那么一些数，我们知道它们存在，但不知道它们的精确值，也无法用某个算式或者算法将它表达出来。因为我们的由有限个符号组合而成的语言，表达能力存在上限，虽然这个上限是无穷大，但却是虽小的一种无穷，所有数字总数的无穷，大于我们的语言组合的无穷。

进一步来说，如果将每一个数字都当作一个事实（真理），那么宇宙中的事实（真理）的数量，也将是我们的语言所不能完全描述的。遗憾的是，我们现在的文明，甚至我们的思维，都是建立在有限个符号的语言之上的，从这个角度来说，我们的认知能力也有着一个上限，即使我们拥有无限的时间，我们恐怕仍然不足以认识到宇宙的一切事实。

也许有更高级的文明，能使用一种更高级的不可数的语言来描述这个宇宙，对他们来说，宇宙或许是另一个样子。