POJ 3252 - Round Numbers

Round Numbers

• POJ 3252 - Round Numbers
• Time: 2000MS
• Memory: 65536K
• 难度: 初级
• 分类: 排列组合

输入两个十进制正整数a和b，求闭区间 [a ,b] 内有多少个 Round number

所谓的 Round Number 就是把一个十进制数转换为一个无符号二进制数，若该二进制数中0的个数大于等于1的个数，则它就是一个Round Number

注意：

• 转换所得的二进制数，最高位必然是1，最高位的前面不允许有0
  -规定输入范围： 1 <= a < b <= 2E

很猥琐的题，我首先说说猥琐的地方，再说说解题思路，有四点很猥琐：

• （1）规定输入范围：1 <= a < b <= 2E
  
  输入的数是一个接近大数的非大数, int可以存储。网上看很多同学都说要用到精度，其实完全没必要，int能表示21E+的整数，精确的int极限能表示的正整数为2147483647，但是即使这样，面对这题也不能松懈啊！ bin[] 边界的最小值为 35 ！！
• （2）bin[] 数组若果定义为局部数组，等着WA吧！
  
  我找不到任何原因为什么会这样，bin不管是全局定义 还是 局部定义，本地是完全AC的，上传就出问题了，局部WA，全局AC。
  
  我被迫把传参del掉，把bin改为全局，郁闷！
• （3）组合数打表，同(1)的猥琐，c[][] 边界的最小值为33，就是说如果定义组合表的大小比 c[33][33] 小的，就等着RE吧!
  
  还有就是这个算法有一个违背常识的处理，要把 c[0][0]=1，不然某些最终结果会少1
• （4）输入不能用循环输入 while(cin>>…) ，不然你就等着OLE (就是Output Limit Excessed，很少见吧！)。不知道数据库是怎么回事，输入竟然不会根据读取数据结束而结束，而是无限输出最后一次输入所得的结果……老老实实一次输出就end file吧！

组合数学题，（也属 递推数学，是因为杨辉三角和组合数之间的关系）

我根据我写的程序讲解好了。

要知道闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number，只需要分别求出：

• 闭区间 [0, a] 内有T个RN
• 闭区间 [0, b+1] 内有S个RN
• 再用 S – T 就是闭区间 [a, b] 内的RN数了

至于为什么是 b+1，因为对于闭区间 [0, k] ，我下面要说的算法求出的是比k小的RN数，就是说不管 k是不是RN, 都没有被计算在内，所以若要把闭区间 [a, b] 的边界a和b都计算在内，就要用上述的处理方法。

现在问题的关键就是如何求 [0, k] 内的RN数了：

首先要把k转化为二进制数 bin-k ，并记录其位数（长度）len

那么首先计算长度小于len的RN数有多少（由于这些数长度小于len，那么他们的值一定小于k，因此在进行组合时就无需考虑组合所得的数与k之间的大小了）

for(i=1;i<bin[0]-1;i++)         //bin[0]记录的是二进制数的长度len
      for(j=i/2+1;j<=i;j++)
            sum+=c[i][j];

可以看到，i<len-1，之所以减1，是因为这些长度比len小的数，最高位一定是1，那么剩下可供放入数字的位数就要再减少一个了。

这条程序得到的sum为

1表示当前处理的二进制数的最高位，X表示该二进制数待放入数字的位。

显然这段程序把 二进制数0 排除在外了，这个是最终结果没有影响的，因为最后要把区间 [a, b] 首尾相减，0存不存在都一样了。

然后计算长度等于len的RN数有多少（由于这些数长度等于len，那么他们的值可能小于k，可能大于k，因此在进行组合时就要考虑组合所得的数与k之间的大小了）

int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)
    if(bin[i])   //当前位为1
        for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)
        sum+=c[i-1][j];
    else
        zero++;

之所以初始化 i=bin[0]-1 ，是因为 bin[] 是逆向存放k的二进制的，因此要从高位向低位搜索，就要从 bin[] 后面开始，而要 bin[0]-1 ，是因为默认以后组合的数长度为len，且最高位为1，因此最高位不再搜索了。

现在问题的关键就是怎样使得以后组合的数小于k了

这个很简单：

从高位到低位搜索过程中，遇到当前位为0，则不处理，但要用计数器zero累计当前0出现的次数

遇到当前位为1，则先把它看做为0，zero+1，那么此时当前位 后面的 所有低位任意组合都会比k小，找出这些组合中RN的个数，统计完毕后把当前位恢复为原来的1，然后 zero-1，继续向低位搜索。

剩下的问题就是 当当前位为1时，把它看做0之后，怎样去组合后面的数了

此时组合要考虑2个方面：

• （1）当前位置i后面允许组合的低位有多少个，我的程序由于bin是从 bin[1] 开始存储二进制数的，因此 当前位置i后面允许组合的低位有 i-1 个

• （2） 组合前必须要除去前面已出现的0的个数zero

我的程序中初始化 j=(bin[0]+1)/2-(zero+1)， j本来初始化为 (bin[0]+1)/2 就可以了，表示对于长度为 bin[0] 的二进制数，当其长度为偶数时，至少其长度一半的位数为0，它才是RN，当其长度为奇数时，至少其长度一半+1的位数为0，它才是RN。

但是现在还必须考虑前面出现了多少个0，根据前面出现的0的个数，j的至少取值会相应地减少。 -(zero+1) ，之所以 +1，是因为要把当前位 bin[i] 看做0

然后到了最后，剩下一个问题就是怎样得到每一个 的值，这个我发现很多同学都是利用打表做的，利用的就是 组合数 与 杨辉三角 的关系（建立一个二维数组 C[n]， 就能看到他们之间关系密切啊！区别就是顶点的值，杨辉三角为1，组合数为0）

其实这个“关系”是有数学公式的：

好好体会一下吧！

其实组合数也可以直接用计算方法做(n的规模可以至少扩展到1000)，不过这里n的规模只有26，打表应该是更快的，有兴趣学习用计算方法做组合数的同学可以联系我，这个要用另外的数学方法处理。

//Memory Time 
//224K   16MS  

#include<iostream>
using namespace std;

int c[33][33]={0};
int bin[35];  //十进制n的二进制数

/*打表，计算nCm*/

void play_table(void)
{
    for(int i=0;i<=32;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j || i==j)
                c[i][j]=1;
            else
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
//    c[0][0]=0;
    return;
}

/*十进制n转换二进制，逆序存放到bin[]*/

void dec_to_bin(int n)
{
    bin[0]=0;   //b[0]是二进制数的长度
    while(n)
    {
        bin[++bin[0]]=n%2;
        n/=2;
    }
    return;
}

/*计算比十进制数n小的所有RN数*/

int round(int n)
{
    int i,j;
    int sum=0;  //比十进制数n小的所有RN数
    dec_to_bin(n);

    /*计算长度小于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

    for(i=1;i<bin[0]-1;i++)
        for(j=i/2+1;j<=i;j++)
            sum+=c[i][j];

    /*计算长度等于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

    int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
    for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)
        if(bin[i])   //当前位为1
            for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)
                sum+=c[i-1][j];
        else
            zero++;

    return sum;
}

int main(void)
{
    play_table();

    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<round(b+1)-round(a)<<endl;

    return 0;
}