二进制小数

谈浮点数前，先了解一些基础知识；对于整数的十进制与二进制转换不难，原理也简单就不再赘述，假如现在要进行转换的十进制数字是带有小数点的，转换方法就会稍微有点不一样了；为了使说明更浅显易懂，先来探究一下十进制小数中的奥秘；

以十进制数 3.125 为例，小数点以左为整数部分，右为小数部分，它也可以被更具体的拆解为以下形式：

3x10^0 + 1x10^-1 + 2x10^-2 + 5x10^-3

这也是十进制数的特点，基数为 10，所以每一位都是与 10 的相应次方的乘积，指数也是有规律的，可以看成以小数点为对称轴，向左就是 10 的 0、1、2、3……次方递增，向右则是 10 的 -1、-2、-3……次方递减，如果换一种形式，那么在运算方面也具有对称性（乘法与除法互为逆运算），就是下面的形式：

3x10^0 + 1/10 + 2/10^2 + 5/10^3

这样，理解二进制的小数部分就容易了，已经知道整数十进制转二进制其实就是连续除以 2 取余数，那么根据上面的规律，小数部分看出逆运算，就可以总结为 连续乘 2 取整数，举例说明：

3.125（十进制）

3     / 2 = 1    --> 1
         余 1    --> 1
0.125 x 2 = 0.25 --> 0
0.25  x 2 = 0.5  --> 0
0.5   x 2 = 1    --> 1

==> 11.001（二进制）

11.001 就是 3.125 的二进制小数形式，同时它也可以做如下拆解：

1x2^1 + 1x2^0 + 0x2^-1 + 0x2^-2 + 0x2^-3

= 2 + 1 + 0 + 0 + 0.125
= 3.125

可以看到也是与十进制形式相对应的，只是基数从 10 换成了 2 而已；

当然，都知道机器码都是一堆 0 和 1 组成的数据，并没有小数点这个专门的符号，要表示数字 3125 还好说，但是 3.125 中间多出的这一点要怎么解决呢……一个很直接的方法就是把小数点应该在的位置焊死 -_-，比如 32 位的系统，规定小数点在 16 位和 17 位之间，那么根据 3.125 的二进制是 11.001，在 32 中的表现就是：

0000 0000 0000 0011 0010 0000 0000 0000

这就是 定点数 的规则干的事情，看着挺好，要是多用几次系统空间可能就 hold 不住了，不好之处明显就是花掉当前一半的数量级取表述小数部分，当然可以少划分几位给小数，但对小数好像不太公平，万一精度要求高呢，反过来呢对整数又不公平了，手心手背都是肉，得想办法解决才行；

于是乎，浮点数横空出世；其实上述问题平时肯定都遇到过，比如记个帐，昨日净收入 31200000000 元（@_@），肯定不想写这一堆 0 对不对（如果是真的咱愿意写 100 遍……），一般都会写 312 亿或者 3.12x10^10 元，重点就在后面这种科学计数表示法，人为了省力省纸省笔墨弄了个科学计数法，处理器也自然用上了浮点数，省空间；具体原理与表示方法后面会讲；

以 C语言为代表，其中就有浮点这一数据类型，比如单精度浮点 float（32 位），双精度浮点 double（64 位）等，可能平时也就直接声明和使用较多，没太关注底层实现的算法，其实也不太复杂，套用一种规则而已，下面开始介绍；

目前关于浮点运算与表示，使用广泛的应该就是 IEEE 754（二进制浮点数算术标准）了，其主要内容如下：

v = (-1)^s * 2^e * m

v: 浮点数具体值
s: 符号位，即正负号，0 为正，1 为负
m: 有效数，也叫尾数，可以类比科学计数法前面的有效数字
   另外还有一个小数位 f, m = 1 + f
e: 指数位，即 2 的多少次方

该标准包含了多中位数，以 32 位为例：

(1)   (8)          (23)          : 位数
0 00000011 0010000000000000000000
s e        f

总结就是：

• 第一位为符号位 s；
• 后 8 位为指数位 e；
• 最后 23 位为小数位 f；

64 位的规则是：

• 第一位是符号位 s；
• 后 11 位是指数 e；
• 最后 52 位是有效数字 m；

知道了这些还不能立刻套用上面的公式经行转换，还需要了解接下来的一些规定；

指数偏移值

浮点的二进制表示中指数位 e 的计算值（即转换成十进制后的值），要在实际指数值（十进制）的基础上加上一个 偏移值，标准中规定偏移值为 2^(e-1) - 1，如 32 为中 e 是 8 位，所以偏移值为 127，64 位的就为 1023；所以 32 位指数实际值的范围为 -126 ~ 127；

举个例，指数 e 的实际值为 -3，那么 32 位中加上偏移值就是 -3 + 127 = 124，换算成二进制的 8 位指数位就是 01111100;

这种指数位偏移后的指数值，又叫做 阶码，因为科学计数法中的指数是有正负之分的，所以实际指数值加上一个正的适中偏移值，就可以使得浮点表示法中的指数位为无符号的整型（就是变成正整数），利于浮点数的比较大小，就是可以直接从浮点的二进制表示中，由高位向低位逐位进行比较（如果是负数二进制比较大小要复杂一点）。

具体的表示方式会根据不同的情况而不同，主要有以下几种情况；

即 e 的 8 位数字不是全部为 0 或者 1，此时 m = 1 + f，由于小数部分 f 的值在 0 到 1 之间，所以有效数 m 的值在 1 到 2 之间；

非规约形式

这种形式 e 的 8 位全部为 0，小数位 f 值不为 0，用于表示非常接近 0 的数，此时不再是 m = 1 + f，而是 m = f，即 m 值在 0 到 1 之间；实际上所有非规约的浮点数比规约浮点数更接近于 0；

指数位 e 全为 0 的同时，小数部分（f）为 0，用来表示 ±0（正负取决于 s 位的值）；且规定最小指数位编码（e = 0 时）的实际值应该取 -126（本来应该是 0 - 127 = -127）；

如果 e 全为 1，且 m 全为 0，则表示无穷大（Infinity，正负取决于 s 位的值）；

如果 e 全为 1，且 m 不全为 0，则表示 NaN（Not a Number，非数值类型）；

后面的例子都以 32 位为例，其它位数根据标准类推；

先来看一个十进制转浮点，规约形式的例子，比如用之前的十进制数 3.125，转换为 32 位浮点二进制格式（0b 开头的表示二进制数据）：

3.125
= 0b11.001
= 0b1.1001 x 2^1

s = 0

e = 1
  => 1 + 127
  =  128
  =  0b10000000
  
m = ob1.1001
f = m - 1
  = 0b0.1001
  => 0b10010000000000000000000
  
==>
0 10000000 10010000000000000000000

转换的大致流程总结如下：

十进制小数 –> 二进制小数 –> 浮点表示法 –> 二进制浮点

再举一个二进制浮点转十进制小数例子：

1 01111111 00100000000000000000000

s = 1
  => -1
  
e = 0b01111111
  = 127
  => 127 - 127
  = 0
  
f = 0b0.001
m = 1 + f
  = 0b1.001
  
v = -1 x 0b1.001 x 2^0
  = 0b-1.001
  = -1.125

==> -1.125

以 32 位单精度浮点数为例，由于分配给有效数字的位数是 23 位，而整数部分默认是 1，它的位置就不用留了，所以小数部分就可以独占 23 位，在加上默认的一个整数位就是 24 位了，同理，64 位双精度浮点数的有效数就是 53 位（52+1），再进行一下算术运算：

log(2^24) = 7.22
log(2^53) = 15.95

上面的算式表示二进制下的这么多位数的实际值，对应到十进制中有多少位；结果表明，单精度浮点可以保证 7 位十进制的有效数字，双精度的则可以保证 15 位；

“浮”的原因

取名为浮点，那么到底“浮”在了什么地方，与定点数相比的优势又是什么？总的看来，其实其转换操作很类似于十进制中的科学计数法，而科学计数法的出现，就是为了实现能简短地书写较大的数，比如写作 1.0x10^20，就可以避免在 1 后面写那令人抓狂的 20 个 0 了；

同理，二进制中如果用定点数表示小数，那么 32 位的话就最多到 32 位有效数字，而用这种类似科学技术的浮点表示法的话，指数能表示到 100 以上，也就是 100 多位了，相信现在的 100 位系统也是稀有物种了吧；因此，浮点数有效的扩大了能表示的数据范围，科学计数法减少了书写量，浮点表示则是节省了存储空间；

另外也是由于科学计数本身的特性，以及指数偏移值，也就是 阶码 的应用，小数点也就不再像之前一样固定，具体位置会根据指数的大小最终“漂浮”到不同的位置，甚至到那遥远的地方……