萤火之森3D 数学基础 - 矩阵变换（二）
发表于 2017-09-24|更新于 2022-02-16|
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2020 年 7 月 26 日更新：
最近对变换重新学习整理了，文章在：图形学常见的变换推导。
上一篇笔记 3D 数学基础 - 向量运算基础和矩阵变换记录了一些向量和矩阵运算的基础，和一些矩阵基本的变换。这篇笔记主要介绍了平移变换、齐次坐标、平移和旋转变换的组合、法线变换和改变坐标系。
平移（Translation）
前一篇文章总结了旋转、缩放等变换，这里介绍一下平移变换。
假如我们需要把 X 坐标从 x 变换到 x + 5，我们需要构造什么样的变换矩阵来实现平移呢？
[x′y′z′]=[?][xyz]=[x+5yz]\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & & \\ & ? & \\ & & \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+5 \\ y \\ z \end{bmatrix}
⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡?⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡x+5yz⎦⎤
要注意的是，变换矩阵不能包含 x、y、z 等坐标变量。例如要得到 x + 5，那么矩阵的第一个行向量不能是 $$(1, 0, 5/z)$$，因为变换的一个重要性质是变换矩阵保持不变。
我们可以给矩阵多加一个维度 w，令其等于 1，这样就不需要用到 x、y、z 这些坐标变量了。
[x′y′z′w′]=[1005010000100001][xyz1]=[x+5yz1]\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+5 \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}
⎣⎡x′y′z′w′⎦⎤=⎣⎡1000010000105001⎦⎤⎣⎡xyz1⎦⎤=⎣⎡x+5yz1⎦⎤
这里引用到了齐次坐标的概念。
齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射几何变换。
—— F.S. Hill, JR 《计算机图形学 (OpenGL 版)》作者
想要了解三维坐标是怎么样扩展到四维坐标，可以先了解下二维空间中的齐次坐标 $$(x, y, w)$$。
下图的三维坐标中在 $$w=1$$ 处有一个二维平面，则该平面上的二维平面坐标可以表示为 $$(x, y, 1)$$，图中的 $$(1.0, 0.8, 1.0)$$ 就是一个在该二维平面上的点。对于不在二维平面上的点，我们则将其投影到二维平面上，所以齐次坐标 $$(x, y, w)$$ 映射到实际二维平面上的点为 $$(x/w, y/w)$$，例如另外一个点 $$(2.5, 2.0, 2.5)$$ 在 $$w=1$$ 二维平面投影得到的点为 $$(1.0, 0.8)$$。
同理，三维空间的点可以认为是在四维空间中 $$w=1$$ 的 “平面” 上，所以齐次坐标 $$(x, y, z, w)$$ 映射到三维空间上的点为 $$(x/w, y/w, z/w)$$，这也就是点的非齐次坐标。
[xyzw]=[x/wy/wz/w1]\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x/w \\ y/w \\ z/w \\ 1 \end{bmatrix}
⎣⎡xyzw⎦⎤=⎣⎡x/wy/wz/w1⎦⎤
四维齐次坐标的任何常量缩放会得到相同的结果，也就是说，它包含了点的非齐次坐标所有可能的缩放（还记得上面图中的两个点吗？），w 可以等于任何数值：
- 如果 w > 0，这表示一个真实物理世界的点，我们可以用 x，y，z 三个坐标除以 w 得到这个真实的点。
- 如果 w = 0，这表示一个无穷远处的点。在实际应用中，通常表示一个向量。
齐次坐标的优点：
- 让我们可以同时考虑所有的变换，如平移、观察、旋转、透视投影等。（如果我们要做缩放变换，可以直接变换 x、y、z 的值并且保持 w 不变。）
- 整个渲染管线都以 4 * 4 的齐次坐标矩阵以及对应的四维向量为基础，只有在最后要表示真实点的位置的时候，才需要把齐次坐标变为非齐次。（计算机里除法是个非常复杂的操作，需要花费更多的时间周期，但齐次坐标只需在渲染管线最后一步做除法。）
- 不会出现特殊情况。有时考虑判断直线是否相交，当它们平行的时候，有些公式会出错，但无穷远点已经在齐次坐标中约定了 w=0。
- 四阶矩阵和齐次坐标是计算机图形软件和硬件中普遍使用的标准。
下面表示的是一个点向量加上一个平移变量：
P′=TP=[100Tx010Ty001Tz0001][xyz1]=[x+Txy+Tyz+Tz1]=P+TP{}'=TP=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+T_{x} \\ y+T_{y} \\ z+T_{z} \\ 1 \end{bmatrix}=P+T
P′=TP=⎣⎡100001000010TxTyTz1⎦⎤⎣⎡xyz1⎦⎤=⎣⎡x+Txy+Tyz+Tz1⎦⎤=P+T
有时候平移矩阵 T 内的左上角部分会直接用单位矩阵来表示，其中 $$I_{3}$$ 表示 3 * 3 的单位矩阵。
T=[100Tx010Ty001Tz0001]=[I3T01]T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_{3} & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
T=⎣⎡100001000010TxTyTz1⎦⎤=[I30T1]
组合平移和旋转变换
当要对一个点进行两种变换的时候，就会涉及到变换顺序的问题，是先平移再旋转，还是先旋转再平移？
先旋转再平移
P′=(TR)P=MP=RP+TP{}'=\left ( TR \right )P=MP=RP+T
P′=(TR)P=MP=RP+T
其中 T 为平移矩阵，R 为旋转矩阵，矩阵 P 通过平移再旋转后得到矩阵 P’。注意，在上面的公式中做的是标准的向量计算，在计算时才用齐次坐标计算。
由于我们使用的是列矩阵，矩阵的阅读顺序应该从右到左。也就是说对于 TR 这个旋转矩阵而言，（TR）P 这个操作，就是对矩阵 P 先 R 旋转，再进行 T 平移。
M=[100Tx010Ty001Tz0001][R11R12R130R21R22R230R31R32R3300001]=[R11R12R13TxR21R22R23TyR31R32R33Tz0001]=[RT01]M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x}\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y}\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
M=⎣⎡100001000010TxTyTz1⎦⎤⎣⎡R11R21R310R12R22R320R13R23R3300001⎦⎤=⎣⎡R11R21R310R12R22R320R13R23R330TxTyTz1⎦⎤=[R0T1]
MP=[RT01][P001]=[RPT01]=RP+TMP=\begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} RP & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=RP+T
MP=[R0T1][P001]=[RP0T1]=RP+T
先平移再旋转
P′=(RT)P=MP=R(P+T)=RP+RTP{}'=(RT)P=MP=R(P+T)=RP+RT
P′=(RT)P=MP=R(P+T)=RP+RT
M=[R11R12R130R21R22R230R31R32R3300001][100Tx010Tx001Tx0001]=[R3×3R3×3T3×101×31]M=\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{x}\\ 0 & 0 & 1 & T_{x}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{3\times 3} & R_{3\times 3}T_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix}
M=⎣⎡R11R21R310R12R22R320R13R23R3300001⎦⎤⎣⎡100001000010TxTxTx1⎦⎤=[R3×301×3R3×3T3×11]
MP=[R3×3R3×3T3×101×31][P001]=[RPRT01]=RP+RTMP=\begin{bmatrix} R_{3\times 3} & R_{3\times 3}T_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} RP & RT\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=RP+RT
MP=[R3×301×3R3×3T3×11][P001]=[RP0RT1]=RP+RT
对比先平移再旋转的结果，可以看到不同的地方是 T 变成了 RT，也就是说旋转也施加在了平移的方向上。在下图中可看到小人在 Y 轴方向发生了平移，所以先旋转再平移可能会更容易得到理想的结果，但两种变换组合都是可行的。（在 gluLookAt 的推导中需要先做平移，gluLookAt 是 OpenGL 中观察变换的一个关键函数。）
在图形学中曲面法线的方向也很重要。
法线（Normal）
法线是始终垂直于某平面的虚线。在数学几何中法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。
—— 百度百科
切线的位置实际上就是曲面上的几何位置，因此它们的变换矩阵和曲面的变换矩阵保持一致。
t→Mtt\rightarrow Mt
t→Mt
而法线变换是另外一个矩阵，我们称之为 Q。
n→QnQ=?n\rightarrow Qn~~Q=?
n→Qn Q=?
法线必须垂直于这些切线，因此法线和切线的点积等于 0。
nTt=0n^{T}t=0
nTt=0
变换后法线和切点依然互相垂直，可得：
(Qn)T=(nTQT)(Mt)=0(Qn)^{T}=(n^{T}Q^{T})(Mt)=0
(Qn)T=(nTQT)(Mt)=0
在该等式中，只有当 $$Q^{T} M=I$$ 时，矩阵才容易求解。
nTQTMt=0⇒QTM=In^{T} Q^{T} M t=0 \Rightarrow Q^{T} M=I
nTQTMt=0⇒QTM=I
最后可得法线变换公式，其中 $$M^{-1}$$ 只对左上角的 3 * 3 矩阵求逆和转置：
Q=(M−1)TQ=(M^{-1})^{T}
Q=(M−1)T
要进行法线变换，这个公式要施加在曲面上所有的法线上。
另外要注意的是法线是一个向量，不会随着平移而改变，因此平移变换对法线没影响。
改变坐标系
在图中，点 (2, 1) 要平移到 (1, 1) 处，可以直接把点向左平移，也可以看成是坐标系的改变，将坐标系向右平移。
引出坐标系的概念是因为，在很多情形下，我们需要一个特定的物理位置在不同的坐标系间变换，例如上一篇文章正交坐标系中所举的例子。下图中，有世界坐标系、相机坐标系和点 P。
点 P 在两个坐标系中的坐标是不同的，而在图形学中，我们经常要做这样的变换。
如果我们在世界坐标系中有一个点，要计算出其在相机坐标系中的位置，则要同时考虑相机旋转的坐标系、相机的位置和观察的位置（视点）。
在二维空间下的旋转中能看到二维旋转矩阵的推导过程，在此基础上，可以看作坐标系向右旋转了 θ 度，这样点 P 就在新坐标系中到达目标位置 P’ 了。
这样我们就能通过旋转矩阵来得到新的 uv 坐标系了！
[uv]=[cosθ−sinθsinθcosθ][xy]\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}
[uv]=[cosθsinθ−sinθcosθ][xy]
之前讨论的都是三维的变换，下篇笔记会介绍图形学中的观察（Viewing）。3D 数学基础知识有点枯燥，但这是入门图形魔法的必经之路。
