本文简单介绍了几种计算逆序数的实现方法

所谓逆序数,是指一个排列中所有逆序对的总数,而所谓逆序对,则是指排列中前后位置和大小顺序相反的数对,举个简单的例子:

{   1 , 4 , 2 , 3   } \{\ 1, 4, 2, 3 \ \} { 1,4,2,3 }

上面的排列中,有下面两个逆序对:

< 4 , 2 >   < 4 , 3 > <4, 2>\ <4, 3> <4,2> <4,3>

所以该排列的逆序数为 2

• 朴素的实现很简明,我们遍历排列中所有的数对,检查是否形成逆序关系即可,示例代码如下(Lua):

function inverse_number(seq)
    local inv_num = 0
    
    for i = 1, #seq - 1 do
        for j = i + 1, #seq do
            if seq[i] > seq[j] then
                inv_num = inv_num + 1
            end
        end
    end
    
    return inv_num
end

• 上面的方法虽然简明,但是时间复杂度相对较高( O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)),这里我们假设排列中元素种类很少(譬如只有 1 , 2 , 3 , 4 1, 2, 3, 4 1,2,3,4),那么更有效率的一种实现方法就是依次遍历排列元素,对于每一个遍历到的元素而言,该元素之前所有比他(该元素)大的元素,与该元素便形成了一个逆序对(即逆序数增一),依此我们便可以累加计算出排列的逆序数(Lua):

-- assume seq contains "1, 2, 3, 4" only
function inverse_number(seq)
    local inv_num = 0
    
    local count_buffer = { 0, 0, 0, 0 }
    
    for i = 1, #seq do
        if seq[i] == 1 then
            inv_num = inv_num + count_buffer[2] + count_buffer[3] + count_buffer[4]
            count_buffer[1] = count_buffer[1] + 1
        elseif seq[i] == 2 then
            inv_num = inv_num + count_buffer[3] + count_buffer[4]
            count_buffer[2] = count_buffer[2] + 1
        elseif seq[i] == 3 then
            inv_num = inv_num + count_buffer[4]
            count_buffer[3] = count_buffer[3] + 1
        else
            count_buffer[4] = count_buffer[4] + 1
        end
    end
  
    return inv_num
end

• 上面代码的时间复杂度虽然比较高效( O ( n ) O(n) O(n)),但是通用性不高(限制了排列元素种类),我们可以简单扩展一下(Lua):

function inverse_number(seq)
    local inv_num = 0
    
    local count_buffer = {}
    
    for i = 1, #seq do
        for k, v in pairs(count_buffer) do
            if k > seq[i] then
                inv_num = inv_num + v
            end
        end
        
        count_buffer[seq[i]] = (count_buffer[seq[i]] or 0) + 1
    end
  
    return inv_num
end

• 实际上而言,上面实现的时间复杂度也是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),但在元素种类受限的排列中,使用该实现来求取逆序数的速度仍是非常快的,另外的,我们还可以借用树状数组来进一步加速,有兴趣的朋友可以继续看看更多资料里的内容.