从分类问题到深度神经网络

之前对分类Classification问题只有浅显的理解，最近认真学习了Classification问题的两种解决思路，比较了Generative和Discrimitive两种模型的异同，同时也学习了模型的一些细节与问题处理。另外从Logistic Regression到Neural Network的过渡也让我印象深刻，深度学习真的很有魅力！

Generative Classification（产生式模型）

解决分类问题的一个思路是，能不能套用回归问题？例如，二分类问题，设第一组的y^为1，第二组的y^为-1，然后去回归拟合一条直线来区分两类数据，可不可行？这种思路的代表方法如Fisher线性函数法。但这种区分函数法有很大问题。比如，如果在y^为1的一组中，存在距离很远的一组数据，值远大于1，这样拟合这些数据会使得直线进行倾斜，从而影响分类准确率。

为了解决分类问题，需要转变思路，于是提出了Generative模型（产生式模型）：

Generative意思是要先考虑分布，然后从概率的角度去计算后验概率，用后验概率来分类，属于正向推理。
首先考虑贝叶斯公式，为了得出后验概率P(C1|x),要分别计算先验概率prior probabilities如P(C1)等，以及class-dependent probabilities如P(x|C1)。
这些值可以从我们的training data中得出：例如先验概率可以直接按照数据量计算，而class-dependent概率需要做假设。假设数据满足某分布，比如满足高斯分布Gaussian distribution,那么可以根据数据找出该高斯分布的两个指标，均值向量μ和协方差矩阵Σ。
怎么找呢？用最大似然，可以直接代入公式算。
得出指标之后可以代入class-dependent概率的公式，再和先验概率一起代入就可以得到后验概率的函数。

然而，这样的generative模型有个问题是由于高斯分布的参数比较复杂，分类准确率不高。可以通过两个类的高斯分布共享同一个协方差矩阵的方式来解决。假设两高斯分布的协方差相同，仅仅是均值不通，即Σ1=Σ2取加权平均，这样分类的时候boundary就是线性的了，参数少一点，会更准确。

总思路如下：

其实，分布也可以选用其他分布，对于二分的feature完全可以采用贝努利分布。
另外class-dependent概率P(x|C1)中x是一个一维向量，所以后验概率还可以拆解成多个x1,x2,x3，然后概率相乘，进一步简化模型。这样做的前提是各个dimension满足独立分布，这就是朴素贝叶斯。

Generative模型还可以深入推敲。后验概率可以提出一个参数z，然后用sigmoid函数表示：

经过数学运算，z最终可以表示成Wx+b的形式，那么我们可以考虑，不要用复杂的概率模型，也不要去计算μ和Σ，直接通过数据去训练更新权重W和偏差b可以吗？这就引入了另一种解决分类问题的模型，Discrimitive模型（判别式模型）。

Discrimitive Classification（判别式模型）

Discrimitive模型的思路是，既然最终后验概率可以转化成用w和b作为参数表示的形式，为什么不直接用数据去更新w和b呢？这样的思路和回归问题更加接近。设计loss函数的时候，思路和之前的产生式模型类似，也是用最大似然maximum likelihood，用现有的training数据去拟合最可能的分布。设计第一类的y^为1，第二类的y^为0，这样的话Loss函数可以用训练数据和ground truth的交叉熵来表示（可以直接推导）。

最后一步是通过目标函数求微分来计算梯度更新W，可以对比发现这一步更新weight的梯度公式和linear regression是一样的。

那么为什么在step2中，逻辑回归的损失函数用交叉熵表示而不用方差呢？可以通过下面的图直观地看出来。如果用方差的形式来表示logistic regression的损失函数，那么在求梯度的时候会遇到远处梯度为0的情况，而且作图也可以看出来loss下降的曲线斜率也明显有差别。

Generative vs Discrimitive

G和D的两个模型对比来看，Discrimitive的模型往往是更加准确的，因为G其实会脑补出一些数据的分布情况，我们利用G的同时其实也会默认提出一些假设，比如满足高斯分布，满足伯努利分布(Bernoulli distribution)，满足独立性（朴素贝叶斯）等等；另外在计算后验概率的时候，G会更加看中已经有的数据样本，会受采集样本分布的影响，导致出现一些问题。

当然G也有一些好处，比如基于概率分布的假设时，需要的数据更少（可以脑补）；面对噪音更加稳定；同时，先验概率priors和class-depedent概率可以分开计算，可以来自不同的数据源了（例如语音辨识虽然是用了神经网络，但还是离不开Generative的大框架）

Multi-class Classification

对于多类别分类问题，考虑用softmax方法处理输出。每个类对应一组w和b，输入的x经过线性变换和softmax处理后直接输出分在该组的概率（后验概率），训练的话仍使用交叉熵作为损失函数。另外，目标的表示方法也由0-1表示变成了one-hot表示。

How to make it Deep？

逻辑回归也有其局限性。Logistic Regression分类的boundary是线性的，导致有些数据交叉分布时没有办法分开，需要用到feature transformation的方法，将数据重新分布后再做逻辑回归。但是这样还是比较复杂，很难有确定的feature transformation的方法。

可以cascading logistic regression models，将逻辑回归模型拼接起来，这样用前面一层的逻辑回归对数据进行重新分布，再用后一层的模型对数据进行分类。这样多个相连，我们把每个logistic regression模块叫做一个neuron，这样整个网络就变成了neural network，就发展成了deep learning。

More About Maximum Likelihood

在Logistic Regression的推导过程中，运用了最大似然估计的方法，其实回过头去思考已经学习过的Linear Regression，也可以从这个方法中得到新的收获。
例如，为什么线性回归的误差函数是用平方误差来表示？我们知道线性回归中y与t存在差别，是因为观察值t拥有随机性，我们假设这一随机性符合一个以0为均值、β^(-1)为方差的高斯分布，那就可以得到线性回归模型生成所训练数据集的总概率。我们想要使自己的线性模型拟合得最好，也就是要使我们的模型生成这一数据集的概率最大，即最大化似然函数。通过计算似然函数可知，为了最大似然，式中第三项需取最小，也就是说最大似然估计等价于线性拟合。

此外，到目前位置我们讨论各种对应关系、数据分布假设时都是基于最大似然准则，即模型对训练数据的概率最大化。但是有些情况下，也会有其他的考虑。例如我们经常希望将知识和数据结合在一起，这时候就不仅仅要考虑训练数据概率最大化，还要考虑先验知识在目标函数中的比重，这时的准则就不再是最大似然，而是最大后验（Maximum A Posterior, MAP）。事实上，需要根据不同的数据分布情况选择恰当的模型。