亚里士多德的逻辑

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除了自己的无知，我什么都不懂。

－苏格拉底

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本文发表于《Newton 科学世界》 2018 年第 12 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释， 且因字数所限， 有轻微删略。

亚里士多德的逻辑

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

在我记忆里， 由课本而知晓的第一位古希腊先贤是亚里士多德 (Aristotle)。 通过一篇题为 “两个铁球同时着地” 的小学课文， 这位先贤以反面陪衬的方式登了场。 也正是由于这篇课文， 在很多学生的印象里， 亚里士多德恐怕成了守旧及陈年谬误的代名词。

但实际上， “守旧” 乃后人之 “守”， 非亚里士多德之过， 与作为探索者和思考者的亚里士多德更是背道而驰。 关于这一点， 课文的 “主角” 伽利略·伽利莱 (Galileo Galilei) 有过精辟的阐述， 在《关于两大世界体系的对话》 (Dialogue Concerning the Two Chief World Systems) 一书中这样写道：

你难道怀疑如果亚里士多德看到天空中的这些新发现， 他会改变自己的观点， 修改自己的著作， 拥抱最理智的学说， 并抛弃那些弱智到只会悲哀地墨守他说过的每一句话的人吗？ ……是亚里士多德的追随者而非他本人将权威的皇冠强加给了他。

我时常感到困惑， 为什么那些墨守亚里士多德每一句话的铁杆支持者们会意识不到他们对亚里士多德的信誉与声望构成了多大的妨碍， 以及他们是如何越想加强他的权威， 实际上却越有损这种权威。

至于 “陈年谬误”， 这虽是先贤在遥远后代眼里难免会披上的色彩， 对亚里士多德却也是极大的低估。 作为一位百科全书式的人物， 亚里士多德涉猎的领域几乎遍及了当时乃至后来很长时间内存在过的全部学科——不分科学和人文。 他的著作虽有相当比例的逸失， 留存的部分也已跟柏拉图的一样， 哪怕用今天的标准来衡量也称得上卷帙浩繁[注一]。 但跟多数先贤的学说——尤其是跟数学和科学有交集的学说——往往只在开风气之先的意义上影响后世 (亚里士多德对后世无疑也有这种意义上的巨大影响) 不同， 亚里士多德却有一项学说被沿袭和讲授了两千多年， 甚至直到今天也只是被超越而非推翻。 以时间的延绵而论， 这样的成就只有 古希腊的原子论 可以比拟， 但跟后者的屹立不倒在很长的时间里只具抽象意义不同， 亚里士多德的这项学说是很多哲学家乃至普通人的日常所需， 具有极大的现实价值。

这项学说就是亚里士多德的逻辑。

逻辑是很难确定发现者的， 因为就连普通人也会使用简单逻辑。 然而普通人对逻辑的使用是直觉的， 亚里士多德却对逻辑作出了系统分析。 这种在貌似寻常的地方洞见真知是了不起的能力， 因为这一缘故， 亚里士多德被尊为了逻辑之父 (对他来说， 这只是若干个 “之父” 头衔中的一个)。

亚里士多德的逻辑很大程度上来自数学。 在亚里士多德著作中， 数学未付专书， 但分量及影响不容低估。 比如他对数学和科学相互关系的看法与现代相近， 视前者为针对后者之抽象性质的研究； 比如他对公设 (postulate) 和公理 (common notion) 做出了区分[注二]； 比如他指出了存在性并不从属于定义， 而需单独证明 (这一点哪怕现代人也时常失察)； 比如他对矛盾律 (law of contradiction) 和排中律 (law of excluded middle) 做出了阐述…… 这些都在很大程度上被欧几里得 (Euclid) 所继承， 从而使亚里士多德对公理化的影响远大于柏拉图， 且具体得多。

不过， 亚里士多德的逻辑虽来自数学， 且时常用数学例子加以阐释， 其地位却是超然于数学的。 跟柏拉图视数学为不依赖经验的永恒存在不同， 亚里士多德视逻辑先于数学， 视数学真理的确立须以逻辑推理为工具——亚里士多德的逻辑论述早年被称为 “工具论” (Organon)， 也在一定程度上体现了这种认识[注三]。

在亚里士多德的逻辑中， 成就最大的是对三段论 (Syllogism) 的研究。 为了对亚里士多德的逻辑——尤其是它令人钦佩的系统性——有所了解， 在本文中， 我们将对三段论作一个略带 “技术性细节” 的介绍——希望我的 21 世纪读者不至于被本质上是公元前的 “技术性细节” 吓跑。

首先， 三段论顾名思义， 是由三个命题 (proposition) 组成的逻辑推理形式， 这三个命题被称为大前提 (major premise)、 小前提 (minor premise) 和结论 (conclusion)。 亚里士多德三段论中的命题不是任意的， 而是每个命题都具有四种形式之一， 分别为： 所有 X 都是 Y， 记为 XaY； 所有 X 都不是 Y， 记为 XeY； 某些 X 是 Y， 记为 XiY； 某些 X 不是 Y， 记为 XoY[注四]。 别小看这个并不复杂的分类， 在逻辑发展史上， 将 X 和 Y 这样的变量 (variable) 引进逻辑是一个非同小可的进展， 类似于数学中由算术到代数的演进。 为简洁起见， 我们将这四种形式统一表示为 X◊Y， 其中 ◊ 代表 a、 e、 i、 o 这四个所谓 “函子” (functor) 之一。

其次， 三段论作为一种逻辑推理形式， 它的三个命题必须存在关联， 这种关联体现为三个命题两两共享一个变量， 比如大前提 M◊P， 小前提 S◊M， 结论 S◊P 就符合关联要求， 因为大前提与小前提共享变量 M， 大前提与结论共享变量 P， 小前提与结论共享变量 S。 不过， 对于结论为 S◊P 的三段论来说， 符合关联要求的三段论不是唯一的， 而是依据大小前提中变量顺序的不同可以有以下四种形式——被称为四种格 (figure)：

 

第一格

第二格

第三格

第四格

大前提
小前提
结论

M◊P
S◊M
S◊P

P◊M
S◊M
S◊P

M◊P
M◊S
S◊P

P◊M
M◊S
S◊P

对于每种形式——即每一格——的三段论， 由于每个 ◊ 代表 a、 e、 i、 o 四者之一， 因此我们可以将大前提、 小前提和结论中的 ◊ 所代表的字母按顺序排在一起表示具体的三段论。 比如第一格的 aaa 表示大前提是 “所有 M 都是 P” (MaP)， 小前提是 “所有 S 都是 M” (SaM)， 结论是 “所有 S 都是 P” (SaP) 的三段论。

三段论总共有多少种呢？ 我们可以计算一下： 对每一格， 由于每个 ◊ 代表 a、 e、 i、 o 四者之一， 因此将大前提、 小前提、 结论中的 ◊ 替换成 a、 e、 i、 o 四者之一共有 4×4×4 = 64 种方式。 将四个格合计起来， 则是 64×4 = 256 种。 因此三段论总共有 256 种。

在 256 种三段论中， 绝大多数是无效推理 (感兴趣的读者不妨随便挑几个核验一下)， 剩下的又有若干是虽然有效却没有价值的弱推理。 比如 aai 是有效推理， 但跟 aaa 相比， 大前提和小前提都相同， 结论 “某些 S 是 P” (SiP) 却弱于后者的结论 “所有 S 都是 P” (SaP)， 因而是没有价值的弱推理。 将这些都去掉， 真正的有效推理有多少呢？ 只有以下 15 种[注五]：

第一格

第二格

第三格

第四格

aaa, eae, aii, eio

eae, aee, eio, aoo

iai, aii, oao, eio

aee, iai, eio

这就是三段论的基本情况——当然， 是现代转述。 那么， 亚里士多德的三段论与之相比有什么差别呢？ 主要在于两点： 一是在分类中没有列出第四格， 二是包含了两个无效推理。

但这两点都有一些开脱理由。

拿分类来说， 虽然很多逻辑学家认为亚里士多德有意排斥第四格， 但也有逻辑学家——比如波兰逻辑学家扬·卢卡西维茨 (Jan Łukasiewicz)——认为亚里士多德是承认第四格的， 只是因有关分类的文字成书在先才导致了遗漏。 如果说这是死无对证， 那么另一种开脱则不无道理， 那就是： 三段论并非全都独立， 而是可用某些等价关系相互约化的。 比如大前提与小前提的顺序对换是等价的， XeY 与 YeX， XiY 与 YiX 也分别是等价的， 等等。 利用这些等价关系， 有效三段论的数量可大幅约化， 第四格则可被完全消除， 所谓 “排斥第四格” 也就未必是问题了。

至于两个无效推理， 指的是第三格中的 aai 和 eao 被亚里士多德视为有效， 其实是无效的。 比如以 aai 为例， 它是从 “所有 M 都是 P” 和 “所有 M 都是 S” 推出 “某些 S 是 P”。 若以 M 表示 “三只脚的鸡”， P 表示 “三只脚的”， S 表示 “鸡”， 该推理意味着从 “所有三只脚的鸡都是三只脚的” 和 “所有三只脚的鸡都是鸡” 推出 “某些鸡是三只脚的”， 结论错误， 故而是无效推理。 但可作开脱的是： 这种无效推理是微妙的， 因为它是前提中的 M 所表示的东西不存在造成的， 只要 M 所表示的东西存在， 推理就有效。 这种三段论如今被称为 “有条件有效式” (conditionally valid form)， 因前提中的 M 所表示的东西不存在造成的谬误则被称为 “存在谬误” (existential fallacy)。 这种微妙性直到两千多年后的 19 世纪， 随着逻辑因英国数学家乔治·布尔 (George Boole) 等人的研究而取得新进展之后， 才得以澄清。 在那之前， 亚里士多德的逻辑以近乎完美的姿态统治了整个逻辑——且这种统治不像他的某些其他著述那样系后人之盲从， 而是确实难在他的 “百尺竿头” 上更进一步[注六]。 德国哲学家伊曼努尔·康德 (Immanuel Kant) 在《纯粹理性批判》 (Critique of Pure Reason) 一书的第二版序言中就曾表示， “逻辑……自亚里士多德之后连一步都未能前行， 因而从各方面看来都已终结”——“终结” 云云虽是典型的哲学式滥调， 但可以不夸张地说， 亚里士多德时代从未有其他先贤在任何领域的技术性层面上如此系统地逼近现代研究。

亚里士多德对后世的影响当然远不限于逻辑领域 (因此会随时 “客串” 到今后的随笔里)。 比如他虽是柏拉图的学生， 却 “吾爱吾师， 吾尤爱真理”[注七]， 对柏拉图那本质上超自然的理念论不以为然， 从而极大地提升了自然科学的地位； 比如他关于数学和科学的种种看法与柏拉图的科学哲学并列为了科学哲学的源头之一。 不过另一方面， 亚里士多德对自然现象远比对包括实验在内的人为现象更感兴趣， 这使很多追随者走上了重观测轻实验的道路， 对后世的科学发展产生了长期负面影响——当然， 这是后人的盲从而非亚里士多德之过。

1. 在亚里士多德著作中有不少被认为是讲课提纲， 他因而称得上是最早的教科书作者。 此外， 亚里士多德的某些著作很可能是学生的听课笔记， 或后人据二手资料整理所成， 这不仅在一定程度上拉低了亚里士多德著作的水准， 使其风格偏于乏味及重复累赘， 而且还使亚里士多德观点的归属带有一定的模糊性。 另外值得一提的是， 有研究者认为， 柏拉图和亚里士多德在哲学史上的地位如此重要， 跟两人的著作流传度超高不无关系。
2. 具体地说， 亚里士多德的 “公设” 是指单一学科 (比如几何) 独有的 “真理”， “公理” 则是适用于所有科学的 “真理”。 这两者都被欧几里得所沿袭， 在现代数学公理体系中则已不再分列， 而被统称为 “公理” (axiom)。
3. 在后来的漫长历史中， “工具论”、 “辩证法” (dialectic) 及 “逻辑” (logic) 这三个词曾长时间竞争逻辑领域的 “冠名”， 直到 17 世纪才开始由 “逻辑” 一词显著胜出。
4. 由这四种形式可以看出， 逻辑通俗读物最爱采用的三段论例子 “所有人都会死； 苏格拉底是人； 因此苏格拉底会死” 其实并不妥贴， 因为其中的 “苏格拉底” 是单称 (singular) 词项， 三段论命题中的词项则是全称 (universal) 词项如 “所有 X”， 或特称 (particular) 词项如 “某些 X”。 当然， 单称词项可视为全称词项或特称词项之特例， 虽不妥贴亦可说通。
5. 所谓三段论的有效， 指的是如果大小前提都成立， 结论一定成立——或者用亚里士多德自己的话说， 是 “某些事情被确立， 某件与之不同的事情将因之而必然确立”。
6. 当然， 站在现代逻辑的高度回望亚里士多德的逻辑， 它的局限性其实在极普通的推理中都能遇到， 比如 “马是一种动物， 因此马的头是一种动物的头” 这样的推理就不属于三段论——这是英国哲学家伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 所举的例子。
7. 这句常被视为亚里士多德语录的名言在亚里士多德的文字中并无严格对应。

1. J. Barnes et al (eds.), Articles on Aristotle: 1. Science (Duckworth, 1975).
2. K. Devlin, Mathematical: The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994).
3. Galileo G, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (Modern Library, 2001).
4. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1 (Oxford University Press, 1972).
5. G. T. Kneebone, Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics (Dover Publications, Inc., 2001).
6. G. E. R. Lloyd, Greek Science after Aristotle (W. W. Norton & Company, 1973).
7. J. Łukasiewicz, Aristotle's Syllogistic: From the Standpoint of Modern Formal Logic (Oxford University Press, 1957).
8. B. Russell, Wisdom of the West (Crescent Books, 1989).
9. H. Scholz, Concise History of Logic (Philosophical Library, Inc., 1961).

2018 年 10 月 17 日完稿
2019 年  1 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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