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脑力小体操 4-8岁儿童的益智火柴puzzle(附可引发脑力风暴的上期解答)

至多移动两根火柴，让榛子到“杯子”外。

关于 如何制造一个骰子，掷出某个面的几率是另一面的2倍

答案竟然完全超出了我个人的意料。

在目前已知的文献里，艾萨克·牛顿最早思考了这问题。在一份1664年和1666年之间的私人笔记里(作为历史文献于1967年公开)，他提到了这个问题。

他写道："抛出的长方体骰子，某个面朝上的概率？如果一个骰子不是一个正立方体体，而是长方或其他不对称的形状，可以发现，某些面朝上的几率非常之高。"

目前还不清楚关于这一问题，牛顿思考到何种程度。

但在1692年，这个问题再次出现在John Arbuthnot的一篇论文中。所以后来很多研究，都是延续自这篇当时发表的论文。

50年后，托马斯·辛普森Thomas Simpson(1740)用一个简单的几何学思想来构建长方体骰子的概率。他假设每个面的概率与相应的球面四边形的表面积成正比。

这也是我个人最早看到这一问题时，想到的答案。在数学上，它看起来非常合理。唯一需要注意的是(上周有评论就搞错啦)，球体内部的正方形(面)，在球面上的投影不是一个球冠，而是一个球面四边形。球体内部的圆盘，才能投影成球冠！所以按这一模型计算概率需要解球面积分~~

因为这个答案本身非常数学，所以相当长一段时间里，大家就默认使用这一模型。直到最近一个世纪。

有几位数学/物理学家，决定用实物实验检验上述投影模型，结果有点出人意料。

就像是柏拉图的理念原型，当我们把现实对象抽象成数学对象的时候，会剥离它身上“无用的特性”，比如说投掷硬币，我们认为影响其概率的是硬币的几何属性，所以理想的“数学硬币”不需要考虑它的具体质量、颜色、质地、弹性模量等等参数，因为它们统统不会影响到结果。但反过来，真实硬币，依据其理想程度(这里也就是密度均匀和接近完美圆的程度)，投掷它们的统计结果必然非常接近“数学硬币”的推导结果。

类似地，对于正方体骰子，也存在所谓的“数学骰子”。

但有意思的，对于长方体的骰子，却不存在这样的“数学原型”——没有长方体的数学骰子。因为经过实物实验和计算机模拟，人们从半个多世纪前到前十年间发现，完美均匀的长方体骰子，掷出各个面上数字的概率，也不仅仅依赖于纯粹的(如长宽高=1:1:2)几何结构，而是和具体的物质属性有关。也就说，在几何上全等的铁质长方体骰子、木长方体骰子和骨质长方体骰子，它们反映的概率也不相同。所以不能仅仅抽象成长宽高=1:1:2的单一骰子。

(实际上，对实验数据的统计结果显示，非完美对称的n面体骰子的概率遵循吉布斯分布。其中参数里包括了与物质属性相关的参数，如弹性。当弹性足够大时，骰子几乎100%停止于重心高度最小的状态。)

所以，单纯问一个结构确定的长方体骰子，它掷出某个数字的概率，这一问题毫无意义。或者说，我们可以强行用某个在数学上很合理的模型套进去，就说抽象概率就遵循这一模型。但是，结果却与真实实验数据不符，那概率失去了现实的意义，变成了数学上的文字游戏。

PS 另一方面，如果构想一个可以完美吸收冲击的面，骰子每次都落在那上面，则实验数据最接近辛普森模型。

参考资料
https://arxiv.org/pdf/1302.3925.pdf(感谢数学研发论坛的某位版主)

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