一些对辐射度量学的理解

随着硬件性能的提升,PBS/PBR已经越来越成为一种趋势。

Unity内置的standard shader都已经默认使用PBR算法。

而学习PBR过程中，有一门必提的知识是“辐射度量学”。

本来我以为我都学会了，毕竟path tracer都写出来了，并且效果看起来很正常。

但是最近在学习全局光照时，突然对“辐射度量学”突然产生了两个疑惑。

1. 光线在传播过程中，Radiance是如何体现出，能量随着距离增加而衰减的？

   回忆在写path tracing时，代码并没有刻意去计算距离对光线能量的衰减。

   而从数学公式上看，在计算光线弹射时，反射方程的输入和输出都是Radiance。

   某一单位表面弹射出的某一个方向上的光线A的Radiance值，会在计算被光线A击中物体表面时直接使用。

   那么衰减到底在哪里体现的呢？

2. 为什么一个物体表面弹射出的光线的Radiance，可以直接被光线击中的物体直接拿来计算？

   先看一下定义：

   入射Radiance, 单位面积从单位立体角接收到的flux(功率)。 L(p,ω)=dE(p)dωcos⁡θL(p,\omega)=\frac{dE\left(p\right)}{d\omega\cos\theta}L(p,ω)=dωcosθdE(p)​

   出射Radiance, 单位面和从单位立体角发出的flux(功率)。 L(p,ω)=dI(p,ω)dAcos⁡θL(p,\omega)=\frac{dI\left(p,\omega\right)}{dA\cos\theta}L(p,ω)=dAcosθdI(p,ω)​

   从定义上看，入射Radiance使用的是接收面和接收方向的立体角，而出射Radiance是出射面和出射方向上的立体角。

   那么，凭什么一个物体表面的出射光线Radiance可以直接被照射物体用来计算，而且还可以随距离智能衰减？

是的，所有答案的问题指向立体角，是立体角将他们神奇的联系到一起的。

先复习一下，立体角的定义：dΩ=dAr2d\Omega=\frac{dA}{r^2}dΩ=r2dA​

然后回答第一个问题（这里仅考虑 单位表面与光线垂直的情况，所以去掉了cos项）：

假设在平面DE上有一个单位表面A，发光表面B发出了一条光线照向A。

根据Irradiance的定义，dE(p)  =L(p,ω)  ∗  dωdE(p)\;=L(p,\omega)\;\ast\;d\omegadE(p)=L(p,ω)∗dω。

代入立体角公式就可以得出，单位表面A接收由表面B照射过来的功率为(HG表面积)/(HG离表面A的距离) * Radiance。如果将表面B由HG移动到JI位置，由于JI离表面A更远，单位表面A接收到的单位表面B照射出的功率更小。

那么path tracer是如何利用这一性质的呢，想象一下，从单位表面A发出720根射线，离发光表面B离表面A越近，被表面A的射线击中的次数就会越多,表面A就接收到表面B的能量就越多。

在回答问题1时，假定了第2个问题是毫无疑问的。但是入射Radiance和出射Radiance为什么一定是一样的呢？

我们先来化简一下入射Radiance和出射Radiance的公式。

入射Radiance, L(p2,ω2)=d2ϕ(p2,ω2)dω2dA2cos⁡θ2L(p_2,\omega_2)=\frac{d^2\phi(p_2,\omega_2)}{d\omega_2dA_2\cos\theta_2}L(p2​,ω2​)=dω2​dA2​cosθ2​d2ϕ(p2​,ω2​)​

出射Radiance, L(p1,ω1)=d2ϕ(p1,ω1)dω1dA1cos⁡θ1L(p_1,\omega_1)=\frac{d^2\phi(p_1,\omega_1)}{d\omega_1dA_1\cos\theta_1}L(p1​,ω1​)=dω1​dA1​cosθ1​d2ϕ(p1​,ω1​)​

可以看到入射Radiance和出射Radiance公式完全一样，只不过作为接收平面，他使用是接收平面的面积，立体角，法线与光线的夹角。而作为出射平面，使用的是另一组参数而已。

到止前为止接收Radiance和出射Radiance仅仅是公式相同而已，没有任何迹象表明他们会是同一个值。

借用《Fundamentals of Optics and Radiometry for Color Reproduction》中的一张图，来解释这奇迹的变换。

假设P1点所在的微平面ds1发出一条光线→P2P1\xrightarrow[{P_2P_1}]{}P2​P1​​照向点P2所在的平面ds2。

由于ds1在立体角dω1d\omega_1dω1​方向上发出的能量被ds2全部吸收，所以ϕ(p2,ω2)\phi(p_2,\omega_2)ϕ(p2​,ω2​) = ϕ(p1,ω1)\phi(p_1,\omega_1)ϕ(p1​,ω1​)。

根据立体角的定义：

dω2dA2cos⁡θ2d\omega_2dA_2\cos\theta_2dω2​dA2​cosθ2​

= ds1cos⁡θ1r2dA2cos⁡θ2\frac{ds_1\cos\theta_1}{r^2}dA_2\cos\theta_2r2ds1​cosθ1​​dA2​cosθ2​

= ds1cos⁡θ1dA2cos⁡θ2r2ds_1\cos\theta_1\frac{dA_2\cos\theta_2}{r^2}ds1​cosθ1​r2dA2​cosθ2​​

= ds1cos⁡θ1dω1ds_1\cos\theta_1d\omega_1ds1​cosθ1​dω1​

可以得出接收Radiance和出射Radiance是完全相同的量。

嗯，这就是大名鼎鼎的radiance invariance。

ps. 在研究这两个问题过程中，我还有另外一个疑惑，不过这个疑惑随着这两个问题的解决一起解决了。这个问题就是“对于一个微小平面dA, 他在整个单球上发射出的radiance是均匀(完全相等)的么？答案显然否定的，因为dA在整个半球上发射出的I是相同的，根据radiance公式，radiance必然不是均匀的。”

pps. 但是根据Lambert’s Law的漫反射模型，Iθ=In∗cos⁡θI_\theta=I_n*\cos\thetaIθ​=In​∗cosθ，也就是说物体跟光线的夹角会影响接收到的IθI_\thetaIθ​,代入Radiance公式后，radiance在漫反射模型下是均匀的。