阿基米德的方法

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－苏格拉底

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 9 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释。

阿基米德的方法

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

在阿基米德对科学的贡献中， 用 “穷竭法” 计算面积和体积是常被提及的——在一定程度上可视为微积分思想的滥觞， 从而是极重要的。 不过这个系列是随笔而非通史， 独特性重于全面性， 故而倾向于不谈——或少谈——别人已谈得很多的东西。

我们来谈点别的。

阿基米德的杠杆原理 (principle of the lever) 也是常被提及的， 不过阿基米德是如何推导这一原理的， 多数读者大概并不清楚， 我们就从这里切入。 沿这个话题， 我们还将介绍阿基米德用杠杆原理计算球和锥体的体积， 这是现代读者极少有机会接触的奇异而精彩的推理。 本文的介绍将略带 “技术性细节”， 还是那句话， 希望我的 21 世纪读者不至于被本质上是公元前的 “技术性细节” 吓跑。

在《论平面图形的平衡》一书的开篇， 阿基米德给出了有关杠杆平衡的若干公设， 其中的前三条为 (本文中的所有命题及证明皆以现代术语作了转述， 文中的平衡皆指杠杆的平衡， 距离皆指离杠杆支点的距离)：

1. 相同的质量在相同的距离上相互平衡， 相同的质量在不同的距离上不会平衡， 而会往距离大的一侧倾斜。
2. 若两个质量相互平衡， 则往一个质量上添加质量会造成往添加质量的一侧倾斜。
3. 若两个质量相互平衡， 则从一个质量中去除质量会造成往质量不变的一侧倾斜。

利用这些公设， 阿基米德证明了若干命题， 其中的命题 3 是一个有关杠杆的定性结论：

• 若两个不同的质量相互平衡， 则大的质量对应于小的距离。

这一命题的证明是这样的： 设 M > m 为两个质量， D 和 d 为两者对应的距离， 需要证明的是 D < d。 为此， 从质量 M 中去除质量 M-m， 则依公设 3， 这会造成往 m 一侧倾斜。 但这跟 D = d 和 D > d 都矛盾 (因此时两个质量相同， 故依公设 1， D = d 意味着平衡， D > d 意味着往 M 一侧倾斜)。 这说明 D < d， 证毕。

这种定性结论非阿基米德所独有， 一些古老的文明在他之前就知道了同样的结论， 比如公元前 4 世纪的中国古籍《墨经》中就有类似的记述。 但是， 定量的杠杆原理， 且纳入公理化体系予以证明， 则是阿基米德的独家秘笈。 为证明杠杆原理， 阿基米德首先证明了两个有关质心的命题， 本质上是说对称分布的质量， 其质心在对称中心[注一]。 接着， 阿基米德分两个命题 (命题 6 和命题 7) 证明了杠杆原理， 即：

• 若两个质量相互平衡， 则对应的距离反比于质量。

第一个命题 (命题 6) 针对的是两个质量可公度 (commensurable) 的情形。 证明是这样的： 设两个质量分别为 mΔ 和 nΔ (m 和 n 为正整数)。 若 m = n， 命题由公设 1 直接可证， 故不失普遍性可设 m > n。 在下图中， 设 C 为杠杆支点， mΔ 和 nΔ 分别位于 E 和 D， 且 CD/EC = m/n (即对应的距离反比于质量)， 需证明的是 mΔ 和 nΔ 平衡。 为此， 首先引进 CD 和 EC 的 “公约数” d， 使 CD = md， EC = nd。 然后在 ECD 及延长线上取 L、 H、 K 三点， 使 LE 和 EH 都等于 CD (即都等于 md)， HD 和 DK 都等于 EC (即都等于 nd)。 显然， 这样一来 LK 可用长度 d 分割为 2m + 2n 个相等的段落， 若每段的中心放一个质量 Δ/2， 则 LH 之间的所有质量的总和为 mΔ， 质心在对称中心 E， HK 之间的所有质量的总和为 nΔ， 质心在对称中心 D。 因此 mΔ 和 nΔ 的平衡问题等价为均匀分布在 LK 上的 2m + 2n 个相同质量的平衡问题， 而这是明显平衡的， 因为杠杆支点 C 的两侧的线段 LC 和 CK 的长度都是 (m + n)d， 从而对称地分布着 m + n 个质量 Δ/2[注二]。

第二个命题 (命题 7) 则是针对两个质量不可公度 (incommensurable) 的情形。 证明是这样的： 设两个质量分别为 M 和 m。 在下图中， 设 C 为杠杆支点， M 和 m 分别位于 E 和 D， 且 CE/DC = m/M (即对应的距离反比于质量)。 若 M 和 m 平衡， 则命题得证。 若 M 和 m 不平衡， 则不失普遍性可假定往 M 一侧倾斜， 在这种情形下， 可从 M 中去除一个很小的质量 ε， 小到不至于改变往 M 一侧倾斜， 却使得 M - ε 与 m 可公度[注三]。 另一方面， 由 CE/DC = m/M 可知 CE/DC < m/(M - ε)， 而由已证明的针对两个质量可公度的情形， 可推知这种情形下 M - ε 和 m 不平衡， 且往 m 一侧倾斜[注四]。 这跟 ε 小到不至于改变往 M 一侧倾斜相矛盾， 这说明 M 和 m 不平衡的假设不成立。 故命题得证。

关于杠杆原理， 据说阿基米德说过一句豪言： 给我一个支点， 我就能撬动地球 (Give me the place to stand, and I shall move the Earth)。 但这句话只是后人的传颂， 在现存的阿基米德著作中并无佐证， 是否出自阿基米德， 怕是死无对证了。 但阿基米德对杠杆原理的一种奇异而精彩的运用， 却记录在他的《方法论》一书中， 值得介绍。

《方法论》是一本极为独特的书， 记叙了阿基米德发现某些定理的方法， 具体地说是源自静力学分析的方法， 这也是阿基米德作为纯数学和实用领域的双料巨星的特殊优势。 我们将介绍该书中的命题 2， 这一命题是用杠杆原理计算球和椎体的体积， 含两个结论： 一个是球的体积是以其大圆面为底， 以其半径为高的圆锥体积的 4 倍； 另一个是球的体积是以其大圆面为底， 以其直径为高的圆柱体积的 2/3。

为证明这一命题， 阿基米德引进了一个底面直径两倍于球直径， 高等于球直径的大圆柱 (体积为命题中的圆柱体积的 4 倍——因底面半径是其两倍)， 及一个相应的大圆椎 (体积为命题中的圆锥体积的 8 倍——因底面半径及高皆为其两倍)。 大圆柱、 大圆椎与球之间呈下图左侧那样的关系， 下图右侧则是三者在经过球心的任意垂直截面上的关系。 其中 AC 和 BD 皆为球直径， MS 及其延长线是任意水平线 (对应于横切大圆柱的任意截面)， O、 Q、 S 分别为该水平线与球、 大圆椎及直径 AC 的交点。 HA 则是一条辅助线， 长度等于球直径 (即 HA = BD = AC = MS)。 但跟如今的中学生们熟悉的辅助线不同， 阿基米德的这条辅助线是静力学意义上的辅助线， 是以 A 为支点的杠杆 HS 的一条臂。

阿基米德的证明思路是这样的： 对于 MS 所对应的横切大圆柱的任意截面， 他首先证明其所截出的大圆柱的截面 (面积为 πMS2)， 与其所截出的球的截面 (面积为 πOS2) 及大圆椎的截面 (面积为 πQS2) 可通过以 A 为支点的杠杆 HS 相平衡， 具体的平衡方式是将球及大圆椎的截面重心移至 H。 由于大圆柱的截面重心在 S， 依据杠杆原理， 这种平衡的要求是： AS × πMS2 = HA × (πOS2 + πQS2)， 也即 (注意到 HA = MS， 并约去 π)： AS × MS = OS2 + QS2。 注意到 QS = AS， 从而 OS2 + QS2 = OS2 + AS2 = OA2， 可进一步将平衡的要求转化为： AS × MS = OA2——而这， 不妨留给读者重温一下中学几何。

由于 MS 是任意截面， 因而上述结果相当于证明了在以 A 为支点的杠杆上， 将球和大圆椎的每个截面的重心——从而也就是球和大圆椎本身的重心——都移到 H， 可与大圆柱保持平衡[注五]。 由于大圆柱的重心离 A 的距离是球半径， 而 HA 的长度是球直径， 故由杠杆原理可知：

(球体积 + 大圆椎体积) × 球直径 = 大圆柱体积 × 球半径

当然， 这里我们用体积取代了质量， 因密度是一个可约去的常数。 由于大圆椎体积是大圆柱体积的 1/3 (这是欧几里得已经证明过的结果)[注六]， 球直径为球半径的两倍， 大圆柱的体积是命题中的圆柱体积的 4 倍， 经简单计算不难推知：

球体积 = (1/6) × 大圆柱体积 = (2/3) × 圆柱体积

这就是两个结论中的第二个。 第一个结论至此也呼之欲出了， 就留给感兴趣的读者自己试试吧[注七]。

哪怕以两千多年后的眼光来看， 阿基米德的这一思路也堪称神来之笔， 令人高山仰止。 当然， 思路的奇巧也限制了它的适用面， 大约只能是天才之专有。

据说阿基米德本人对上述结论也非常看重， 嘱咐将一个内接于圆柱的球的图案刻在了自己的墓碑上。 阿基米德去世一个多世纪后的公元前 75 年， 哲学家马库斯·图利乌斯·西塞罗 (Marcus Tullius Cicero) 在一片已成废墟的墓地里——据他自己记叙——由这一图案认出了阿基米德的墓， 并加以了修缮。

但时光最终还是抹去了传说中的阿基米德的墓， 只有他的智慧是永恒的丰碑。

在本文的最后， 对《方法论》这部著作再略作些评述。 这部著作在古希腊先贤的著作中被认为有着特殊的重要性， 因其他著作大都只记叙结论或证明， 《方法论》却顾名思义地记叙了发现的方法。 不过我虽很欣赏此书， 某些科学史学家对其重要性的推崇在我看来却似有些夸张。 比如荷兰科学史学家戴克斯特霍伊斯 (E. J. Dijksterhuis) 认为其他古希腊数学著作中的严整的逻辑掩盖了发现的方法， 惟有《方法论》才揭示了后者。 这在我看来似乎是过于绝对地将严整的逻辑与发现的方法对立了起来。 诚然， 严整的逻辑往往是 “后期制作”， 但许多数学发现本就出自逻辑， 纵然经过 “后期制作”， 也未必就掩盖了发现的方法。 而《方法论》所用的源自静力学分析的方法， 哪怕原汁原味， 由于思路的奇巧， 对于揭示古希腊数学的发现方法未必有很大的代表性， 甚至对于阿基米德本人， 恐怕也只代表其方法的一个很有限的侧面。

1. 为节省篇幅， 同时也为了不偏离主线， 对这两个命题就不作介绍了。 不过有一点值得说明， 那就是阿基米德在证明这两个命题时援引了自己证明过的一个结论， 即两个物体的联合质心在各自质心的连线上， 但该命题在现存的阿基米德著作中并未找到， 从而可视为失传著作的证据或线索。
2. 细心的读者也许会抱怨此证明的不甚严谨， 因为由公设所谈论的质量到此处反复使用的质心， 隐含了在此类问题中——起码在质量对称分布时——可用质心取代质量分布的思想， 却并未以足够清晰的方式加以论述或列为公设， 从而有一定的逻辑断层。 这种抱怨是有道理的， 不过这有可能是著作不全造成的， 一般认为 (并且如 [注一] 所显示的)， 阿基米德有关质心的某些论述失传了。
3. 这里其实隐含了一些假设， 感兴趣的读者请想一想， 隐含了什么假设？
4. 这其实不是一个完全平庸的推论， 感兴趣的读者请试着证明一下。
5. 显然， 这里隐含了将截面视为薄层， 将体积视为薄层之和的类似于积分的思路。
6. 参阅 欧几里得与《几何原本》 (下)。
7. 用现代读者熟悉的公式来表示， 半径为 r 的球的体积为 (4/3)πr3， 以其大圆面为底， 以其半径为高的圆锥的体积为 (1/3)πr3， 以其大圆面为底， 以其直径为高的圆柱的体积为 2πr3， 阿基米德所证明的结果是一目了然的。 但是， 那些公式本身的证明并非轻而易举， 阿基米德正可视为其鼻祖之一。

1. E. J. Dijksterhuis, Archimedes (Princeton University Press, 1987).
2. T. L. Heath, The Works of Archimedes (Cambridge University Press, 1897).
3. T. L. Heath, The Method of Archimedes: Recently Discovered by Heiberg (Cambridge University Press, 1912).
4. A. W. Hirshfeld, Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes (Walker & Company, 2004).
5. G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
6. S. Stein, Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? (The Mathematical Association of America, 1999).

2019 年  7 月 16 日完稿
2019 年 10 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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