μ 子反常磁矩之谜 (四)

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μ 子反常磁矩之谜 (四)

- 卢昌海 -

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七. 理论计算——经典电动力学

现在我们来谈谈理论方面的工作。 我们知道， 磁矩并不是什么奇幻概念， 事实上， 每位学过经典电动力学的读者都多多少少做过一些有关磁矩的计算。 在经典电动力学中， 一个电流分布产生的磁矩为：

μ = (1/2) ∫ r×j d3r

(11)

其中 j 为电流密度矢量， 它是电荷密度 ρe 与速度 v (都作为坐标的函数) 的乘积， 即 j=ρev。 如果我们假设电荷分布是由某种具有固定荷质比的粒子所组成的， 那么电荷密度应该与质量密度 ρm 成正比， 即 ρe = (e/m)ρm， 则：

μ = (e/2m) ∫ ρmr×v d3r = (e/2m)s

(12)

其中 s 为该电流体系的角动量。

将 (12) 式与 第二节 中的 (1) 式相比较， 我们看到， 这样一个经典电流分布的 g 因子为 1 (请读者想一想， 它所对应的反常磁矩是多少？)， 只有实验测得的 μ 子 g 因子的一半左右。 这一计算虽然是经典的， 但与量子理论中有关轨道磁矩的结果相一致。 不过， 我们在进行上述计算时曾假定电荷密度与质量密度成正比。 这样的假设对于像轨道磁矩这样电荷分布由某种具有固定荷质比的粒子——比如电子——所组成的体系是适用的。 但如果考虑的是像 μ 子这样其内部结构本身就纯属虚构的对象， 电荷密度与质量密度成正比的假设就并非不言而喻了。

如果我们放弃电荷密度与质量密度成正比的假设， 那么在原则上就可以通过引进彼此独立的电荷及质量分布来得到不同的 g 因子， 甚至得到与实验相一致的结果。 倘若时间退回到 经典电子论 盛行的年代， 这或许不失为一件可以尝试的事情。 但如今我们早已知道， 这样的经典模型绝不是计算 μ 子磁矩的正道， 它顶多能作为经典电动力学的练习题[注一]。

八. 理论计算——相对论量子力学

告别了经典电动力学， 理论计算的下一站显然就是量子力学， 确切地说是以 Dirac 方程为基础的相对论量子力学。 相对论量子力学的出现带来了几个很漂亮的结果， 把当时几个重要的经验假设或孤立推导变为了理论的自然推论， 这其中包括 1/2 自旋， 自旋-轨道耦合中的 Thomas 因子， 以及本文所关心的 g 因子。 这几个结果的推导如今已是量子力学教材的标准内容， 我们在这里只简单介绍一下对 g 因子的推导。 由于 g 因子体现在磁矩与外场的耦合上， 因此我们需要用到带外场的 Dirac 方程 (这里我们采用约化 Planck 常数 ℏ 及光速 c 均为 1 的单位制)：

(iγμDμ - m)ψ = 0

(13)

其中 γμ 是 Dirac 矩阵， Dμ = ∂μ + ieAμ 是协变导数。 用 (iγμDμ + m) 作用于 (13) 式， 利用 Dirac 矩阵的代数性质， 小心处理算符的顺序， 并与非相对论量子力学方程相比较， 便可得到一个描述磁矩与外场相互作用的哈密顿项：

δH = -(e/4m)σμνFμν = -(e/m)(Σ/2)·B + (电场耦合项)

(14)

这里 σμν = (i/2)[γμ, γν]， 其空间分量为 σij = (1/2)εijk(Σk/2)， 而 Σk/2 正是 1/2 自旋 s 的分量的 4×4 矩阵表示。 这一哈密顿项对应的磁矩为 μ = (e/m)s， 与 第二节 中的 (1) 式相比较便可得到 g=2， 或者说反常磁矩为零。 因此相对论量子力学预言自旋 1/2 带电粒子的反常磁矩为零。 这一结果最初是针对电子的， 但它适用于包括 μ 子和 τ 子在内的所有没有内部结构的自旋 1/2 带电粒子。 在 20 世纪 40 年代后期的精密实验出现之前， 这一结果与实验吻合得很好， 而且它有一个非常漂亮的特点， 那就是无需对粒子的内部结构作出任何人为假设。

但如今我们当然早已知道， 这也并非故事的全部。 相对论量子力学所给出的自旋 1/2 带电粒子的磁矩只是它们的 “正常” 磁矩。 虽然电子、 μ 子和 τ 子迄今仍被认为是没有内部结构的基本粒子， 但它们的 g 因子却并不恰好等于 2， 它们都存在所谓的反常磁矩， 对这些反常磁矩的理解是量子场论的一大成果。

九. 理论计算——量子电动力学

具有现实意义的最简单的量子场论之一是量子电动力学 (Quantum Electrodynamics， 简称 QED)， 它是描述自旋 1/2 的带电粒子与电磁场相互作用的理论。 对于计算 μ 子的反常磁矩来说， 这是最具重要性的理论， 因为电磁相互作用是 μ 子所参与的最强的相互作用。 相应地， 来自量子电动力学的贡献在 μ 子反常磁矩中也占了最主要的份额。

量子电动力学对 μ 子反常磁矩的最低阶贡献来自如右图所示的单圈图 (当然， 量子电动力学也包含了 μ 子的 “正常” 磁矩——请读者想一想， 与 “正常” 磁矩相对应的图是怎样的？)。 这幅图虽然简单， 计算起来却绝非轻而易举， 在 20 世纪 40 年代， 这类简单的圈图 (当然， 它最初并不是用图来表示的) 曾经使很多物理学家深感困惑， 其中包括像 Bohr 和 Dirac 那样的量子力学先驱——因为直接计算的结果是发散的。 时过境迁， 这个单圈图的计算如今早已 “标准化”， 成了量子场论教材中有关重整化计算的标准内容， 它所给出的 μ 子反常磁矩为：

aμ(2) = α/2π = 0.5(α/π)

(15)

其中 α=e2≈1/137.035999679(94) 为描述电磁相互作用强度的精细结构常数 (感兴趣的读者请试着恢复一下被略去的约化 Planck 常数和光速)， 上标 (2) 表示该结果相对于 e 的幂次 (一般地， n 圈图对应的幂次为 2n)。 这一单圈图结果最早是由美国物理学家 Julian Schwinger 在 1948 年得到的， 它当时针对的是电子， 但实际与轻子类型无关 (只要自旋为 1/2， 电荷为 e)， 因而是普适的。 α/2π 这一漂亮结果后来被刻在了 Schwinger 的墓碑上。

上述单圈图的贡献约占 μ 子反常磁矩的 99.6%。 对于实验精度不高的物理量来说， 单此一项无疑就是很好的结果了， 可是 μ 子反常磁矩恰好是实验精度很高的物理量， 因此我们必须 “大胆地往前走”。 接下来的贡献来自双圈图。 不幸的是， 圈图计算的复杂度是随圈数增加而指数上升的， 双圈图不仅数量有 9 幅之多， 而且每一幅都远比量子场论教材中的例题来得复杂：

μ 子反常磁矩的量子电动力学双圈图

在这 9 幅图中， 前 7 幅只含 μ 子本身及光子， 与轻子类别无关， 因而与单圈图的贡献一样， 也是普适的 (请读者想一想， 第 7 幅图明明包含 μ 子内线， 为何结果会与轻子类别无关？)。 这 7 幅图的计算虽然复杂， 结果却还算紧凑， 并且具有纯解析的系数， 具体形式为[注二]：

aμ(4) = [197/144 + π2/12 - (π2/2)ln2 + (3/4)ζ(3)] (α/π)2 = -0.328478965579...(α/π)2

(16)

这一结果是 A. Petermann 和 C. M. Sommerfield 于 1957 年彼此独立地得到的。

双圈图中的最后两幅分别含有电子与 τ 子的内线， 因此其结果与电子及 τ 子的质量——确切地说是它们与 μ 子的质量之比——有关。 这两幅图的贡献分别为 (括号中的 e 和 τ 表示内线的类型)[注三]：

aμ(4)(e) ≈ 1.0942583111(84)(α/π)2
aμ(4)(τ) ≈ 0.000078064(25)(α/π)2

对于这两个结果， 有两点可以补充。 第一点是： aμ(4)(e) 具有解析表达式， 但由于系数的表达式中含有电子与 μ 子的质量， 因而与 (16) 式的纯解析的系数不同， 会受实验误差影响； 第二点则是： aμ(4)(τ) 中最具贡献的项正比于 (mμ/mτ)2。 这种来自于重粒子内线的质量平方依赖性具有重要意义， 因为它表明倘若在某个未知的能标上存在某种尚不为我们所知的 “新物理” (相应地存在某种表征该能标的重粒子) 对轻子的反常磁矩有影响， 那么这种影响对 μ 子要比对电子的大四个数量级 (因为 μ 子的质量平方要比电子的大四个数量级)。 也正因为如此， 虽然电子反常磁矩的实验精度比 μ 子的高出三个数量级[注四]， 但 μ 子反常磁矩对 “新物理” 的敏感度却要高于电子反常磁矩[注五]， 这是人们重视 μ 子反常磁矩， 并且或许也是人们首先在 μ 子反常磁矩上发现偏差的主要原因——当然， 这一偏差的客观性在目前还不是毫无争议的 (我们会在后文中提到)。

双圈图的情形大体就是如此， 下一关是多达 72 幅的三圈图——而且平均而言每一幅都比双圈图困难得多。 在那 72 幅三圈图中， 只含光子及 μ 子内线的普适部分具有解析结果， 其数值为：

aμ(6) = 1.181241456578...(α/π)3

(17)

这一结果是 S. Laporta 和 E. Remiddi 经过 25 年的艰辛计算， 于 1996 年得到的。 当然， 在那之前人们已做过数值计算， Laporta 和 Remiddi 的解析结果很好的印证了那些数值计算。

与双圈图类似， 在三圈图中也有包含电子或 τ 子内线的图， 不仅如此， 在三圈图中还首次出现了同时包含电子和 τ 子内线的图。 这三类图的贡献分别为：

aμ(6)(e) ≈ 1.920455130(33)(α/π)3
aμ(6)(τ) ≈ -0.00178233(48)(α/π)3
aμ(6)(e, τ) ≈ 0.00052766(17)(α/π)3

除这些可效仿双圈图进行分类的图之外， 在三圈图层次上还首次出现了如下图所示的 “光子-光子” 散射[注六]：

三圈图中的 “光子-光子” 散射

这是一类纯粹由光子内线连接上下两部分的图 (学过量子电动力学的读者请想一想， 可不可以通过去掉上述图中的某条光子内线， 使 “光子-光子” 散射出现在双圈图中？)。 在这类图中， 费米子内圈为 μ 子的贡献已包含在了 (17) 式中， 剩下的是费米子内圈为电子及 τ 子的情形， 其结果分别为 (下标 “l×l” 表示 “light-by-light”)：

aμ(6)(e)l×l ≈ 20.94792489(16)(α/π)3
aμ(6)(τ)l×l ≈ 0.00214283(69)(α/π)3

以上就是三圈图的贡献。 从 Laporta 和 Remiddi 花费 25 年的时间才计算出其中的一部分来看， 三圈图无疑是可怕的。 但跟四圈图相比， 三圈图就又不算什么了。 四圈图共有 891 幅之多， 而且平均而言每一幅又比三圈图困难得多。 但四圈图已在实验可以检验的精度范围之内， 因此这一关必须得过。 幸运的是， 在计算机的辅助下， 经过许多物理学家多年的努力， 四圈图的数值计算也已经有了结果。 截至 2008 年， 四圈图的计算结果中只含光子及 μ 子内线的普适部分为：

aμ(8) ≈ -1.9144(35)(α/π)4

(18)

含电子或 τ 子内线的非普适部分的贡献为 (其中 “光子-光子” 散射已按所涉及的费米子内线的类型归入相应的类别了)

aμ(8)(e) ≈ 132.6823(72)(α/π)4
aμ(8)(τ) ≈ 0.005(3)(α/π)4
aμ(8)(e, τ) ≈ 0.037594(83)(α/π)4

这里我们照例将普适项——即 aμ(8)——单独列了出来。 有些物理学家在比较了一圈图到四圈图的普适项 (15)-(18) 之后注意到了两个特点： 一是它们的符号正负交错； 二是它们的数值系数都不大 (数量级为 1)。 这两个特点 (尤其是前一个) 是否具有普遍性， 目前尚无定论。

上述圈图计算基本包含了截至本文写作之时 (2009 年 4 月) 为止的 μ 子反常磁矩实验能够检验的所有量子电动力学效应。 但这还不是故事的全部， 理论物理学家们对总数多达 12,672 幅的五圈图的贡献也进行了估算， 其结果为：

aμ(10) ≈ 663(20)(α/π)5

现在我们小结一下量子电动力学对 μ 子反常磁矩的贡献[注七]：

单圈图贡献116140973.289(43)×10-11双圈图贡献413217.620(14)×10-11三圈图贡献30141.902(1)×10-11四圈图贡献380.807(25)×10-11五圈图贡献4.48(14)×10-11

将上述结果合并起来， 可以得到量子电动力学对 μ 子反常磁矩的总贡献为 116584718.10(21)×10-11， 它约为 μ 子反常磁矩实验值的 99.994%。

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1. 对这样的练习题感兴趣的读者可以试着计算一些电荷密度不正比于质量密度的经典模型， 比如质量密度具有电磁起源的模型， 看看能得到怎样的 g 因子。
2. 在这一结果 (以及更复杂的圈图结果) 中出现了像 Riemann ζ 函数这样的超越函数， 这种函数的出现不是偶然的， 而是与诸如纽结理论 (knot theory) 及非对易几何那样的数学结构有着一定的关联。
3. 我们所引的数值结果已采用了轻子质量的新近实验值。 不过对那两幅图的计算本身则是 20 世纪 50 年代和 60 年代的工作 (当时虽然 τ 子尚未被实验所发现， 但理论物理学家们仍考虑了重轻子内线的情形)。
4. 截至 2008 年， 电子反常磁矩的实验值为 115965218073(28)×10-14， 误差为 0.24ppb (十亿分之零点二四)。
5. 细心的读者也许会问： 那么 τ 子呢？ τ 子的质量平方比 μ 子的还要大两个数量级， 它对新物理的敏感度岂不是更高？ 答案是： τ 子反常磁矩对新物理的敏感度的确比 μ 子的更高， 但可惜的是， τ 子反常磁矩的实验精度却太低 (其中一个重要原因是 τ 子的寿命太短)， 从而彻底抵消了敏感度上的优势。
6. 这类散射之所以被称为 “光子-光子” 散射， 是因为图的上半部是一个连接四条光子线的费米子圈， 这是描述最低阶 “光子-光子” 散射的圈图。
7. 这里我对若干数据的误差进行了合并， 想知道误差细节的读者请参阅本系列的参考文献。

二零零九年五月十六日写于纽约
二零零九年五月十七日发表于本站
https://www.changhai.org/

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网友讨论选录

• 网友： ymytm   (发表于 2009-05-18)

  我们知道 α 是随能量跑动的， 计算反常磁矩， 更高的圈图是否要调整 α 的值？

  要是质子和中子磁矩能这么精确就好了。

• 卢昌海   (发表于 2009-05-18)

  更高的圈图并不意味着更高的外线能量， 因此在最终结果中无需考虑 α 随能量的 “跑动” 效应。 不过随着计算精度的提高， 我们会需要更高精度的 α 实验值。

  质子和中子由于不是点粒子， 因此其反常磁矩与基础理论的关系比较间接， 即便真的达到很高的实验精度也不容易与理论相比较。 在理论上， 质子和中子的反常磁矩由于涉及低能下的 QCD 束缚态， 目前还是一个很棘手的问题， 结果也很粗糙。

• 网友： face   (发表于 2009-05-18)

  有没有一些非微扰方法 (格点场论？) 可以避免无穷多阶微扰的发散呢？ 如果有的话， 计算结果如何呢？ 谢谢。

• 卢昌海   (发表于 2009-05-18)

  由于反常磁矩的主要贡献来自弱耦合理论， 因此没有人用非微扰方法去处理。

• 网友： 20年前   (发表于 2009-05-23)

  测量会产生干扰， 越是试图进行精确的测量， 仪器对被测对象的干扰就可能越大， 这种 “反常磁矩” 会不会是测量干扰带来的错觉？ 比如， 本来 μ 子产生的相互作用场是球对称分布， 但是一旦引进测量， 外界的干扰令其偏离球对称， 从而磁矩就变了？ 而且， 由于电子与 μ 子的质量大小不同， 相同的测量带来的干扰也不同？

• 卢昌海   (发表于 2009-05-23)

  外界的干扰起码在当前精度下并不是影响 μ 子反常磁矩的因素， 这不仅是因为没有理论依据， 而且也因为不同实验所涉及的外界的干扰不同， 但 μ 子反常磁矩值却并未因此受到不同的影响。

• 网友： 大漠孤狼   (发表于 2009-07-02)

  昌海兄， 理论物理学家们是如何来得出不同圈数图的具体数量的？ 是不是按照某种规则， 而不是一一绘制？ 我试着读过简明的《图论》， 没有找到这方面的答案。 假如理论物理学家们用的方法是《图论》， 那要多深的教材才会有？ 假如不是， 那么又是用的哪方面知识来分类圈图的？

• 卢昌海   (发表于 2009-07-02)

  这个一般可以通过直接分析由顶点及内线组成的有效排列组合的数目得到。

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