数学物理方程

2021年07月03日

Author: Guofei

文章归类: 5-2-方程，文章编号: 5210

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原文链接：https://www.guofei.site/2021/07/03/mathematical_physics_method.html

波动方程

弦上任意一点的位移为u(x,t)
弦上的外力F(x,t)
在^PQ弧长为Δx，弧的张力为T
P,Q两点的斜率分别为α,β，那么垂直方向的力分别是Tsinα,Tsinβ
我们知道，sinα=tanα√1+tan2α=ux√1+u2x≈ux(x,t)
sinβ≈ux(x+Δx,t)
根据牛顿第二定律，Tsinβ−Tsinα+FΔx=ρΔxutt
也就是说，Tux(x+Δx,t)−Tux(x,t)+FΔx=ρΔxutt
根据微分中值定理，Tux(x+ξ,t)Δx+FΔx=ρΔxuxx
所以，Tuxx(x,t)+F=ρutt(x,t)
可以化简为utt=a2uxx+f

当f=0,也就是外力消失时，uxx=a2uxx，称为 只有横振动方程

膜平衡方程

薄膜在自身重力下，形成一个曲面，求曲面上各点的纵向位移。
假设位移是u(x,y)
膜上有一个矩形区域，定点分别是(x,y),(x+Δx,y),(x+Δx,y+Δy),(x,y+Δy)
yOu平面上，(Tsinα2−Tsinα1)Δx≈T(uyy(x,y+Δy)−uyy(x,y))Δx=TuxxΔxΔy
xOu方向上同理，根据力的平衡原理，T(uxx+uyy)ΔxΔy=ρΔxΔy
所以，uxx+uyy=f，称为 微翘的薄膜平衡方程

一般地，称uxx+uyy=f(x,y)为 二维泊松方程
称uxx+uyy=0为 二维拉普拉斯方程 或 调和方程

热传导方程

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