作者： physixfan

在《Adaptive Risk Parity 投资策略：动态调整UPRO和TMF的比例》及相关文章的评论区里，有不少朋友不满足于UPRO和TMF这两个投资标的，而是还想加入TQQQ或者UGLD等一起按 Risk Parity（风险平价）的思想来投资。我个人不打算投资这些其他的标的，但是其他人这样投资我也不会强烈反对。

但是有一个问题需要注意一下：Risk Parity 并不总是等价于 Inverse Volatility。在那篇文章里提到的网友分享的Github代码，实际上计算的是 Inverse Volatility。只有投资标的数量为2的时候 Risk Parity 才等价于 Inverse Volatility！

Risk Parity 的定义

下面我来讲一下 Risk Parity 的具体含义，以及为什么它在除了N=2的时候并不等价于 Inverse Volatility。

Wikipedia 上对 Risk Parity 的介绍就写的不错：Risk Parity 的目标是让portfolio里的每一个部分对总的 volatility 贡献相等，以此来求每个标的的比例或者说权重。假设我们的portfolio由 N 个投资标的构成，它们分别是 x1,x2,…xN，设 xi 对应的权重为 wi。设协方差矩阵 (covariance matrix) 为 Σ。Portfolio的总 volatility 为：

因为 σ(w) 是1次齐次函数，根据齐次函数的欧拉定理，可得：

从而 σi(w) 可以被理解为第i个投资标的对 volatility 的贡献。

Risk Parity 要求每个部分贡献的 volatility 相等，即要求 σi(w)=σj(w) 对所有 i, j 成立，或者等价地：

所以我们需要求解的就是以下这个方程组，我们把它称作 (*) 式吧：

其中有一个方程并不是独立的，但是别忘了还应当补充一个方程即 ∑Ni=1wi=1，这样就是N个方程N个未知数了。

在 Wikipedia 的页面里还提到可以把这个问题转化成一个最优化问题，但是按我的理解只有N非常大之后才用的上，在N比较小的时候直接联立求解即可。

N=2 的情况

我们接下来看看 N=2 的情况，直接把 (*) 式展开写：

因为协方差矩阵的对称性，Σ12=Σ21，我们直接把两式相减即可得到：

这个结果就是所谓的 Inverse Volatility 了，可见协方差矩阵的非对角项完全没有出现。

N=3 的情况

N>2 的情况道理都是类似的，我们就以 N=3 来做简单的说明吧。我们把 (*) 式展开写：

这时非对角项 Σ12, Σ13, Σ23 就无论如何都消不掉了。这几个非对角项的含义是标的之间的相关性，其实也很容易理解，像UPRO和TQQQ这种相关性如此之大的投资标的，其相关性肯定要有所考虑才对嘛。

大家可以自行验证，当标的之间两两没有相关性时（即协方差矩阵的非对角项全部为0时），Risk Parity 就退化成 Inverse Volatility 了。

只有当投资标的数量为2的时候（例如只投资UPRO和TMF），才可以用计算 Inverse Volatility 的代码来计算 Risk Parity 的比例。当投资标的数量>2时，请一定要自行写代码，考虑上标的之间的相关性，以求得正确的 Risk Parity 比例。

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