欧几里得与《几何原本》 (中)

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 2 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释。 本文上中下原稿合并发表于 2019 年第 3 期的《数学文化》。

欧几里得与《几何原本》 (中)

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

<< 接上篇

前文主要介绍了我们对欧几里得的了解——或许只是在 “不了解” 也是一种了解的悖论意味上， 以及《几何原本》的流传及版本沿革， 接下来让我们对《几何原本》本身略作介绍。

作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作， 《几何原本》一开篇——即第 1 卷——就展开公理体系， 不带一个字的多余铺垫， 直接就列出了 23 个定义， 5 条公设和 5 条公理。 这是迥异于柏拉图和亚里士多德， 乃至迥异于一切哲学著作的风格。

不过， 风格虽异， 《几何原本》对公理和公设的区分跟亚里士多德的著作是明显相似的， 即公设是指单一学科——对《几何原本》而言是几何——独有的 “真理”， 公理则是适用于所有科学的 “真理”。 不仅如此， 《几何原本》中的某些定义和公理本身在亚里士多德著作中也能找到相同或相似的， 比如关于点、 线、 面的定义 (即定义 1、 2、 5——顺便说一下， 凡给出定义、 公理、 公设的序号而未指明第几卷的都是指第 1 卷， 下同)， 亚里士多德也曾给出过； “等量减等量仍是等量” 这一公理 (公理 3) 亦是如此。 亚里士多德并且明确指出， 并非所有真命题皆可被证明， 必须将某些明显为真却无法证明的命题作为推理的起点， 这是公理和公设的起源， 也是其之所以必要的根本原因。 一般认为， 亚里士多德的这些观点对欧几里得是有一定影响的。 不过， 亚里士多德虽对公理和公设作出过区分， 却不曾对具体的——即几何领域的——公设做过论述， 《几何原本》所列的公设也因此被某些研究者， 比如前文提到过的希腊数学史专家希斯， 视为是欧几里得的原创[注一]。

在《几何原本》所列的公设中， 包含了像 “所有直角彼此相等” (公设 4) 那样普通人根本不会想到要列出的命题， 这种极易被默认的命题乃是严密推理的大敌， 将之识别出来则不仅别具只眼， 而且是构建公理体系的必须——当然， 具体到这个特定命题， 它是否有必要提升为公设是可以商榷且往往没有唯一答案的[注二]， 但不视之为想当然本身就已非常了得。 至于大名鼎鼎的 “第五公设” (公设 5) 则自然更是了得， 足可写出整本书的故事来， 就不在这里赘述了——不久之后会有单独介绍。

除公理和公设外， 定义也是《几何原本》所构建的公理体系的组成部分。 不过， 《几何原本》所列的定义用现代公理体系的要求来衡量， 只是一种形象化的努力， 提供的是直观理解， 作为教学说明不无价值， 细究起来却往往会陷入逻辑困境——之所以如此， 其实跟并非所有真命题皆可被证明相类似， 因为对一个概念的定义势必会用到其它概念， 就像对一个命题的证明势必会用到其它命题一样。 原因既然类似， 解决方法其实也就呼之欲出了， 那就是必须引进一些不加定义的概念， 就像必须引进不加证明的公理和公设一样， 这也正是现代公理体系所走的路子。 在现代公理体系中， 基本概念是不加定义的， 对其的全部限定来自公理体系本身 (当然， 现代公理体系也并不排斥定义， 但那通常是针对次级概念， 所起的作用则是简化叙述)。 《几何原本》没有走这样的路子， 有可能是欧几里得没有意识到形象化定义的缺陷， 但也不排除是出于教学考虑。 事实上， 关于《几何原本》的一个有趣但没有答案的问题乃是： 它究竟是欧几里得写给同行的学术专著， 还是写给学生的授课讲义？ 倘是后者， 则对概念作一些逻辑上虽非无懈可击， 但有助于直观理解的形象化描述不失为有益的选择。

关于《几何原本》里的定义， 还可补充的一点是： 那些定义中的一部分在现代公理体系中虽已不再需要， 本身倒也不乏亮点或有趣之处。 比如直线的定义 (定义 4)， 即 “直线是对其上所有的点均匀的线” (A straight line is a line which lies evenly with the points on itself)， 有一种用对称性定义概念的意味 (作为若干种解读之一)。 当然， 由于 “均匀” 一词或其所隐含的对称性本身没有明确定义， 这种定义也是经不起细究的， 比如圆似乎也可套用这种 “对其上所有的点均匀” 的特性。 这种语言层面的模糊性， 或者用希斯的话说是 “毫无希望的模糊性”， 给后人解读这一定义造成了很大麻烦， 产生了颇多争议， 这种争议所体现的也正是形象化定义的缺陷。

在《几何原本》所构建的公理体系中， 另一个可圈可点之处是对定义与存在性做出了一定程度的区分， 从而避免了视所定义的概念为自动存在这一并非显而易见的错误。 比如直线、 圆、 等边三角形和正方形都出现在第 1 卷的定义中 (定义 4、 15、 20、 22)， 其存在性却未被视作不言而喻， 而是分别由 “在任意两点之间可作一直线” (公设 1)， “以任意中心及任意距离 (为半径) 可作一圆” (公设 3)， “以给定线段 (为边) 可作一等边三角形” (命题 1) 和 “以给定线段 (为边) 可作一正方形” (命题 46) 所给出。 不过对定义与存在性的区分虽然连现代人也时常会稀里糊涂， 历史却相当悠久， 可回溯到欧几里得之前， 从而并非欧几里得的独创。 事实上， 芝诺的悖论 给人的一个重大启示便是： 哪怕最直观的概念， 其存在性也并非不言而喻。 自那以后， 对定义与存在性的区分就引起了像柏拉图和亚里士多德那样的先贤的注意， 比如亚里士多德在《后分析篇》 (Posterior Analytics) 中就明确表示， 定义一个客体不等于宣告它的存在， 后者必须予以证明或作为假设。 欧几里得的命题 1 和命题 46 属于对存在性予以证明， 公设 1 和公设 3 则系将存在性作为假设， 都可纳入亚里士多德的阐述。

说到对定义与存在性的区分， 还有一点值得补充， 那就是欧几里得对存在性的很多证明是所谓的 “构造性证明” (constructive proof)， 也就是通过直接给出构造方法来证明存在性。 在数学中， 这是最强有力， 从而也最没有争议的存在性证明。 相比之下， 不给出构造方法， 只凭借逻辑的存在性证明在某些数学家眼里就没那么可靠， 甚至会遭到一本正经的排斥[注三]。

《几何原本》是一部大书， 总计有 13 卷[注四]。 其中被读得最多也谈论得最多的第 1 卷是纯几何的， 全书所用的公理和公设皆罗列于此 (定义则不仅第 1 卷有， 第 2~7 卷和第 10~11 卷也有)。 不过纵览全书而论， 《几何原本》其实并非只是一部几何著作——起码以对数学分支的现代分类观之并非如此。 事实上， 《几何原本》中的 “几何” 一词有可能是后人添加的——比如 1570 年出版的第一个英文版名为《The Elements of Geometry》 (可译为《几何原理》或《几何基础》)， 1607 年出版的前 6 卷的中文版名为《几何原本》[注五]。 但该书的希腊文书名 “Στοιχεῖα” 其实只对应于 “Elements”[注六]， 其含义据普罗克洛斯所言， 乃是证明之起点， 其他定理赖以成立之基础， 类似于字母在语言中的作用 (这个出自普罗克洛斯本人的比喻颇有双关之意， 因为在希腊文里， 字母恰好也是 “Στοιχεῖα”)。 从这一含义来讲， 《几何原本》的希腊文书名只对应于 “原理” 或 “基础”， 起码在字面上不带 “几何” 一词。

不过另一方面， 虽然《几何原本》并非只是一部几何著作， 书名中的 “几何” 一词也有可能系后人添加， 这种添加倒也不能算误读， 因为《几何原本》的题材虽不限于几何， 阐述体系却是几何化的。 这体现在两个方面： 其一， 《几何原本》中的所有公设都是几何公设。 依照亚里士多德的界定， 公设是属于特定学科的， 因此所有公设都是几何公设意味着《几何原本》针对的 “特定学科” 乃是几何。 其二， 《几何原本》虽涉及许多不属于几何的领域， 对那些领域的描述却是用了几何语言。 比如 “数” 是用线段长度表示的， 代数问题亦是由几何方式表述并求解的。 从某种意义上讲， 《几何原本》是数学上一个重要思路——数学几何化——的开端[注七]， “几何” 一词在书名中的出现， 乃至欧几里得一度被称为 “O Γεωμέτρηѕ” (几何学家)[注八]， 则在一定程度上体现了对这一思路的理解或强调。 此外， 《几何原本》的希腊文书名虽只对应于 “原理” 或 “基础”， 这 “原理” 或 “基础” 却是特指几何领域的， 比如亚里士多德在《形而上学》一书中就界定 “Elements” 为几何中其他命题所共同依赖的命题。 考虑到亚里士多德是一位很可能对欧几里得有过重大影响的先贤， 他对 “Elements” 一词的界定很可能意味着 “Elements” 这一书名从一开始就隐含了 “几何” 之意， 而后人将 “几何” 一词显明化， 则或可视为在 “Elements” 一词的本身含义扩张之后对原始含义的回溯。

>> 接下篇

1. 不过考虑到欧几里得之前的数学著作多有失传， 仅凭亚里士多德不曾对具体公设做过论述， 就将公设视为欧几里得的原创似嫌草率。
2. 比如在德国数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 给出的 “现代版” 的几何公理体系中， “所有直角彼此相等” 这一命题就只是一个定理而不再是公设。
3. 这类证明往往用到逻辑上的 “排中律” (law of excluded middle)， 对之排斥最烈的则是一个被称为 “直觉主义” (intuitionism) 的数学哲学流派。
4. 对欧几里得生平了解的贫乏也在一定程度上波及了《几何原本》。 在相当长的时间里， 《几何原本》被认为有 15 卷， 但其中的第 14、 15 两卷后来被公认为并非出自欧几里得。
5. 不过， 出现在该中文版书名里的 “几何” 一词与 “Geometry” 是否同源， 含义是否相同， 都不无争议， 我们将在介绍《几何原本》与中国的渊源时细述。
6. 这里说明一下， 文献中虽普遍以 “Στοιχεῖα” 作为《几何原本》的希腊文书名， 但考虑到后世那些带 “几何” 一词的书名也常被简称为 “原本”， 这里似仍有一个 “Στοιχεῖα” 是简称还是全称的问题。 这个问题在我涉猎的文献里不曾见到说明， 故在前文中只称 “几何” 一词 “有可能” 是后人添加的。
7. 从历史的角度讲， 代数其实比欧几里得早得多就已被古巴比伦人发展到了不低的水准， 欧几里得为什么用几何手段另起炉灶呢？ 一般认为， 一是由于欧几里得对几何更熟悉， 对古巴比伦的代数则未必知晓； 二是因为古希腊的计数系统过于繁复， 以至于几何手段更为简单。
8. “O Γεωμέτρηѕ” 对应于英文的 “the Geometer”， 译成中文是 “几何学家”， 但这一中文翻译没能译出 “the” 所体现的含义。 在很多时候， 英文里这个最朴实无华的 “the” 比任何花哨的形容更强大， 此处就是一个例子， 它指的是但凡提到几何学家而不给出名字， 就特指欧几里得——或者换句话说， 欧几里得是几何学家的代名词。

2018 年 12 月 16 日完稿
2019 年  3 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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