反常磁矩里的反常

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本文发表于 2021 年 7 月 1 日的《南方周末》， 发表稿不含注释。

反常磁矩里的反常

- 卢昌海 -

2021 年 4 月 7 日， 一则科技新闻吸引了很多人的眼球： 美国费米实验室 (Fermilab) 的物理学家们完成了对一个名叫 μ 子的基本粒子的反常磁矩 (anomalous magnetic moment) 的新测量， 以极高的精度确认了一种反常——一种已困扰物理学家们多年的， 出现在 μ 子反常磁矩里的反常。

本文来聊聊这种反常磁矩里的反常——先从 μ 子本身聊起。

μ 子是一个在很多时候、 很多方面让物理学家们尴尬的粒子。

这尴尬首先出现在 “身份” 认定上。

1936 年， 当美国加州理工学院 (Caltech) 的物理学家卡尔·安德森 (Carl Anderson) 和他的研究生赛斯·内德迈尔 (Seth Neddermeyer) 首次发现 μ 子时[注一]， 物理学家们一度以为它是前一年 (即 1935 年) 由日本物理学家汤川秀树 (Hideki Yukawa) 提出——或者说预言——过的， 在质子和中子之间传递相互作用的粒子。 但后续研究很快推翻了这一 “身份” 认定， 因为 μ 子虽跟汤川秀树预言的粒子在质量上有些相近， 却并不传递质子和中子之间的相互作用， 从而不可能是那种粒子——事实上， 后者如今称为 π 介子， 于 1947 年才被发现。

那么 μ 子到底是一种什么粒子呢？ 人们逐渐发现， 它在几乎所有方面都很像电子， 只不过质量比电子质量大了两个数量级， 仿佛是一个 “大号” 的电子。 这种 “大号” 的电子对于在规律层面上的追求简单性的物理学家来说， 是又一种尴尬——一种物理性质方面的尴尬， 因为它似乎展示了一种不必要的复杂性。 20 世纪 40 年代后期， 当这种尴尬越来越凸显时， 哥伦比亚大学的美国物理学家伊西多·拉比 (Isidor Rabi) 曾问过一个很著名——著名到后人谈 μ 子时几乎言必称之——的问题： “谁让它来的？” (Who ordered that?)

是啊， 既已有电子， 大自然为何还要弄出个 μ 子来呢？

如今， 距离 μ 子的发现已有大半个世纪， 拉比的问题依然没有答案， μ 子也依然让物理学家们尴尬。

甚至， 两者都在一定程度上有所扩大： 首先是， 除 μ 子外， 物理学家们于 1975 年又发现了一个更 “大号” 的电子。 这个粒子被称为 τ 子， 它也在几乎所有方面都很像电子， 质量却比电子质量大了三个数量级——即比 μ 子质量还大一个数量级。 拉比的问题当然也可以针对 τ 子问上一遍[注二]。 其次是， μ 子在一个细节问题上带来了一种新的尴尬， 让物理学家们迄今最好的基本粒子理论——即所谓的标准模型 (standard model)——陷入了某种困境。

因为基于标准模型的理论计算与实验测量之间出现了偏差。

这个细节问题就是我们开篇提到——并且是本文所要介绍——的反常磁矩里的反常。

为了介绍反常磁矩里的反常， 首先要解释一下什么是反常磁矩； 而为了解释什么是 “反常” 磁矩， 首先要解释一下什么是 “正常” 磁矩。 这一连串的解释始于粒子世界的一个本身很直观的基本事实， 那就是： 一个带电粒子如果有自旋， 就会像一个旋转的带电物体那样有磁矩。 这个磁矩究竟有多大呢？ 则跟具体的粒子有关。 对电子、 μ 子、 τ 子来说， 1928 年， 英国物理学家保罗·狄拉克 (Paul Dirac) 提出的被称为狄拉克方程 (Dirac equation) 的量子力学方程式给出了一个简洁而漂亮的结果。 那个结果就是所谓的 “正常” 磁矩 (虽然物理学家们并不这么称呼它)。

不过， 狄拉克方程给出的 “正常” 磁矩虽然简洁而漂亮， 并且跟早期的实验测量完全相符， 更高精度的测量却显示， 狄拉克方程给出的 “正常” 磁矩跟现实世界存在偏差。 这偏差从理论上讲倒是不难理解， 因为狄拉克方程作为一个单纯的量子力学方程式， 没有考虑到标准模型所包含的各种复杂的相互作用。 那些相互作用的源泉， 是一个早年想象不到的地方： 真空。

跟经典物理里的一无所有不同， 像标准模型那样的现代物理理论里的真空是一个复杂的体系， 可以允许各种各样的所谓 “虚过程” (virtual process)。 那些 “虚过程” 虽是 “虚” 的 (体现在所涉及的粒子都是 “从真空中来， 到真空里去” 的所谓 “虚粒子”)， 却可以对很多 “实” 的物理量产生影响， 其中包括了对粒子的磁矩产生影响——后者就是狄拉克方程给出的 “正常” 磁矩跟现实世界存在偏差的定性原因。

而标准模型作为迄今最好的基本粒子理论， 一个很强大的特点就是： 可以将上述定性原因 “翻译” 成定量的数学表达式。 利用那些数学表达式， 物理学家们可以进行复杂而精密的计算， 其中包括了对狄拉克方程给出的 “正常” 磁矩跟现实世界之间的偏差进行计算。 这种计算所给出的就是所谓的反常磁矩——确切地说是利用标准模型所得到的反常磁矩的理论计算值。

利用标准模型对反常磁矩进行计算的第一个步骤——即只涉及最简单的 “虚过程” 的计算——是由美国物理学家朱利安·施温格 (Julian Schwinger) 完成的， 时间是 1948 年。 为便利起见， 物理学家们通常在一个特定的单位之下谈论反常磁矩， 使后者变成一个不带物理量纲的纯粹数字， 本文也采用这种约定[注三]。 在这种约定下， 施温格得到的结果非常漂亮， 那就是： α/2π——其中 α 是著名的 “精细结构常数”。 这个结果后来刻在了施温格的墓碑上。 写成小数的话， 这个结果大约是 0.00116。

施温格得到的这个结果是反常磁矩的最主要部分， 它不仅漂亮， 而且普适， 因为它对电子、 μ 子、 τ 子是相同的。 但涉及更复杂的 “虚过程” 的后续步骤的计算则不那么简单， 且结果也不那么普适， 因为其中有一个细微部分是跟粒子类型有关的——也就是说， 是对电子、 μ 子、 τ 子各不相同的。 由于这个细微部分的存在， 电子、 μ 子、 τ 子的反常磁矩是各不相同的。

而更重要的是， 这个跟粒子类型有关的细微部分的存在， 使 μ 子的反常磁矩脱颖而出， 成就了本文开篇所述的以 μ 子为主角的科技新闻。

之所以如此， 是因为这个跟粒子类型有关的细微部分有一个特点， 那就是跟粒子质量的平方成正比。 由于 μ 子质量比电子质量大了两个数量级， 因此这种细微部分在 μ 子反常磁矩里要比在电子反常磁矩里大四个数量级左右。

另一方面， 物理学家们早就知道， 标准模型对反常磁矩的描述若有什么缺失的话——或者用物理学家们更喜欢的说法， 若存在标准模型之外的所谓 “新物理” 的话， 则利用标准模型所得到的反常磁矩的理论计算值跟实验测量值之间就有可能出现偏差， 那样的偏差——即开篇所称的 “反常磁矩里的反常”——也将体现为某种 “虚过程” (只不过是标准模型之外的 “虚过程”) 的贡献， 并且也将具有同样的特点， 即在 μ 子反常磁矩里比在电子反常磁矩里大四个数量级左右。

这说明， μ 子反常磁矩对 “新物理” 的敏感度要比电子的高出四个数量级左右。

细心的读者也许会问： 那么 τ 子呢？ 它的质量比 μ 子质量还大一个数量级， 其反常磁矩对 “新物理” 的敏感度岂不是要比 μ 子的还高两个数量级？ 单从理论上讲的话， 答案是肯定的。 τ 子反常磁矩对 “新物理” 的敏感度确实是比 μ 子的还高两个数量级。 但不幸的是， τ 子的平均寿命实在太短， 只有不到十万亿分之三秒 (3×10‒13 s)， 不到 μ 子平均寿命的一千万分之二， 而且 τ 子的制备也比 μ 子的制备困难许多。 因此对 τ 子进行实验要比对 μ 子进行实验困难得多， 各种测量——包括对反常磁矩的测量——的精度则要低得多。 这一实验上的不利因素远远超过了理论上的敏感度优势， 使 τ 子 “出局” 了。

更细心的读者也许还会问： μ 子反常磁矩对 “新物理” 的敏感度比电子的高也只是理论上的优势， 实验上又如何呢？ 电子作为最常见的基本粒子之一， 而且是稳定粒子， 对其进行实验难道不会比对 μ 子进行实验容易得多， 各种测量——包括对反常磁矩的测量——的精度则高得多吗？ 答案确实也是肯定的。 电子反常磁矩的测量精度确实远远高于 μ 子反常磁矩的测量精度。 只不过， 高出的是三个数量级左右， 抵不过 μ 子反常磁矩对 “新物理” 的四个数量级左右的敏感度优势。

因此综合地说， 若果真有 “新物理” 的话， 在反常磁矩这一途径上， 依然是 μ 子有最大的优势。

正因为这个缘故， 物理学家们对 μ 子反常磁矩有着特殊兴趣， 也寄予了厚望。 μ 子反常磁矩似乎也并不辜负这种厚望， 切实给了人们一些希望——因为它的理论计算值跟实验测量值之间存在偏差已经很多年了， 开篇所述的新闻只不过是一个再次确认这种偏差的最新例子。

接下来要聊聊的是： μ 子反常磁矩的理论计算值跟实验测量值之间的偏差究竟有多大？ 关于这一点， 最好的办法莫过于是让数据自己说话， 因此我们将两者同时列在下面：

截至 2020 年 6 月的 μ 子反常磁矩最新理论计算值：　 0.00116591810(43)
费米实验室 2021 年 4 月的 μ 子反常磁矩实验测量值： 0.00116592040(54)

这里有一个简单的约定要介绍一下， 那就是末尾括号内的数字表示的是误差， 比如理论计算值末尾的 “(43)” 表示的是最末两位有效数字 (即 “10”) 所对应的误差是 “43”——不怕麻烦的话， 可改写成： 0.00116591810 ± 0.00000000043。

上述结果显示， μ 子反常磁矩的理论计算值跟实验测量值之间是有偏差的， 而且偏差大于误差——具体的计算显示， 偏差约为误差的 3.3 倍[注四]。 这样的偏差出自偶然的概率只有千分之一左右。 不仅如此， 进一步的分析表明， 理论计算值跟实验测量值之间的偏差其实比这更显著。 这是因为， 跟理论上的新计算通常取代旧计算不同， 实验上的新测量往往并不取代旧测量——哪怕精度上有所超越， 也往往不是取代关系。 相反， 对实验测量来说， 增加可靠性及减小误差的一个重要途径， 就是对不同测量的结果取平均， 那样的平均往往能得到比单一测量更可靠、 误差更小的结果[注五]。

对 μ 子反常磁矩的实验测量也正是如此。

具体地说， 在费米实验室的此次测量之前， 美国的布鲁克海文国家实验室 (Brookhaven National Laboratory， 简称 BNL) 对 μ 子反常磁矩已经进行过持续数年的测量， 且得到过精度上只是稍逊于费米实验室的结果。 通过对这两个实验室的测量结果取平均， 可以得到一个误差更小的所谓 “世界平均” 测量值， 数值为：

截至 2021 年 4 月的 μ 子反常磁矩 “世界平均” 测量值： 0.00116592061(41)

将这个最新的 “世界平均” 测量值与前述理论计算值相比较， 则两者的偏差扩大为误差的 4.2 倍 (倍数的增加并非由于偏差增加， 而主要是源自误差缩小)。 这种偏差出自偶然的概率只有四万分之一左右。 换句话说， 我们已有 99.99% 以上的把握可以认为 μ 子反常磁矩研究显示了标准模型的缺陷 (因为理论计算是基于标准模型的)， 或者说已有 99.99% 以上的把握可以认为存在某种 “新物理”。

不过， 对于像标准模型这样在其他方面得到过无数实验验证的理论， 物理学家们对于裁定其缺陷是非常慎重的， 慎重到连 99.99% 的把握也仍被认为是不够的。 那么， 要达到什么样的概率， 物理学家们才会认为有足够把握呢？ 一个通行的判据是偏差至少达到误差的 5 倍。 那样的偏差出自偶然的概率不超过三百五十万分之一， 相应地， 作出裁定的把握则在 99.9999% 以上。

只有达到那样的把握， 物理学家们才会宣布发现 “新物理”。

那么， 我们会在什么时候达到那样的把握呢？ 运气好的话， 也许就在这一两年之内。

因为费米实验室的此次测量乃是正在开展的五轮测量中的第一轮， 而且这五轮测量的推进速度相当快： 其中第二、 三两轮已处于数据分析阶段， 第四轮的正处于测量阶段， 第五轮也已作出了规划。 等这几轮测量全部或部分地出结果之后， 其误差——尤其是取平均之后的误差——当可小于目前 “世界平均” 测量值的误差。 那时候， 假如理论计算值跟实验测量值之间的偏差大体不变的话， 则偏差完全有可能因误差的减小而达到或超过误差的 5 倍， 从而达到宣布发现 “新物理” 的门槛。

这样看来， 我们似乎已处于发现 “新物理” 的前夜了。

不过也别太乐观， 因为即便到那时， 也还有一种可能性是会被持续探究且有可能逆转一切的， 那就是理论计算跟实验测量的两者之一或两者全部存在错误的可能性。 因为那种可能性若得到证实， 则 “理论计算值跟实验测量值之间的偏差大体不变” 这一 “假如” 就不再成立了， 基于那种偏差所作的任何判断， 乃至前面所说的种种 “把握” 也就都得推倒重来了。

而且更不容忽视的是， 那种可能性并非只是毫无端倪的泛泛之言。 事实上， 一些研究者通过一种被称为 “格点 QCD” (lattice QCD) 的研究手段所做的某些数值计算， 新近得出了更接近实验测量值——从而会减小理论计算值跟实验测量值之间的偏差——的结果。 只不过， 那种偏差由于已存在多年， 且被很多独立研究印证过， 消除或减小它就跟确立它一样， 也需要更大的把握， 故而尚不能下断语。

但总体来说， μ 子反常磁矩是一个很值得关注的前沿物理领域， 倘若它果真成为 “新物理” 的敲门砖， 则 μ 子这个让物理学家们尴尬的粒子就算立大功了。

1. 那时候 “μ 子” 这个名字当然尚未启用——由于质量介于电子质量和质子质量之间， 安德森用表示 “中间” 的希腊词首 “meso” (μέσο) 命名了它， 称它为 “mesotron” (姑以介子作为中译， 虽然介子后来指的是另一类粒子)。
2. 拉比的问题虽依然没有答案， 却也并非毫无进展。 比如在标准模型中， 量子反常 (quantum anomaly) 在同时包含电子、 μ 子、 τ 子 (及相应的其他粒子) 的情形下可相互抵消， 在只包含电子或只包含电子和 μ 子的情形下则不然。 这可以算是对电子、 μ 子、 τ 子之所以同时存在的一种基于理论自洽性的说明——虽然多数物理学家并不视之为完全的答案。
3. 对这种约定及对反常磁矩的各种技术细节感兴趣的读者可参阅拙作 “μ 子反常磁矩之谜”。
4. 要注意的是， 这里的误差是指理论计算值和实验测量值的联合误差 (后文但凡涉及理论计算值跟实验测量值之间的偏差时， 所说的误差也都是指联合误差， 不再一一注明)， 熟悉误差理论的读者可自行验证一下。
5. 当然， 不同的测量若精度相差悬殊， 则精度太差的测量对减小误差的作用是不大的。 但只要精度相差不悬殊， 求平均是减小误差的有效途径。 另外值得说明的是， 哪怕对理论计算来说， 不同的研究结果彼此印证也是能增加可靠性的。 但理论计算的误差往往不是随机误差， 从而不能通过取平均来得到误差更小的结果。

2021 年  4 月 29 日完稿
2021 年  7 月 10 日发布
https://www.changhai.org/

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