有趣的无规行走模型
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有趣的无规行走模型
作者： physixfan
昨天和一帮子同学出去玩，晚饭时间点完菜等待上菜的时候有两个同学玩起了一个非常无聊的游戏：甲同学扔硬币，乙同学猜正反面，如果乙猜对了则乙的鼻子变长1cm，反之如果乙猜错了则鼻子缩短1cm。（这个是和谐过的版本，原始版本变长变短的不是鼻子而是另一个猥琐的东西…）。他们正在无聊的玩，全然不知道这么玩下去他鼻子长度的绝对值期望是多少…其实，这正是我高一的时候在费恩曼物理学讲义上看到的一个数学模型：Random Walk（无规行走）。对于这个模型，我敢说绝大多数人凭直觉会觉得鼻子长度的绝对值最终的期望值会是0，但事实绝非如此，你可以自己扔几次硬币试试，正确的答案应该是你扔硬币次数N的平方根！
下面给出证明，该证明基本来自《费恩曼物理学讲义》第一卷：
为了证明看起来舒服一些，还是用最原始的模型吧：我站在一个坐标轴上，前为正方向，抛掷一枚硬币，如果正面朝上则我向前走1m，如果反面朝上则我后退1m，在我抛掷硬币次数N足够大的时候，求证我离远点距离的期望值是根号N。
离原点的距离，我们需要一个绝对值来表示，我们设为|D|。为了表示清楚在投掷了N次硬币之后的距离，我们为D加一个下标，可惜网页上显示下标比较麻烦，我就这样表示吧：|D(N)|。可是在这里，用另一种量度进度的方法更为简便，这就是用距离的平方D(N)^2来表示，因为D(N)无论正负D(N)^2总是正的。在这里为了区别开期望值与真实值的区别，我们用<D(N)^2>来表示期望，而D(N)^2表示真实值。
当N=1的时候，毫无疑问D(1)^2=1。
当N>1的时候，D(N)^2的预期值可以从D(N-1)求得。如果走了N-1步以后，我们得到D(N-1)，那么经过N步后，就有D(N)=D(N-1)+1或者D(N)=D(N-1)-1。其平方为：
D(N)^2=D(N-1)^2+2D(N-1)+1或者D(N)^2=D(N-1)^2-2D(N-1)+1
对于大量的无规行走，我们的平均预期值恰好是这两个可能值的平均值。于是D(N)^2的预期值就是D(N-1)^2+1。一般而言，我们对D(N-1)^2所应期望的预期值根据定义就是<D(N-1)^2>，所以
<D(N)^2>=<D(N-1)^2>+1
之前已经说明了<D(1)^2>=1，所以归纳一下就可以得到<D(N)^2>=N。。。！
把上面的式子开平方就可以得到我们要证明的漂亮结果|D(N)|=√N。
话题再回到昨天的游戏上面，他们当然以为最终的某物长度期望值为0，实际上长度为正负根号N。如果是正的就让乙同学给赚了，如果是负的，嘿嘿…
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