【随机过程】

定义

{Ω,F,P}{Ω,F,P}是一个概率空间，∀t∈T,Xt(w)∀t∈T,Xt(w)是定义在其上取值与(S,B)(S,B)的随机变量，称Xt:t∈TXt:t∈T是T上的一个随机过程
定义中有两个元素：

1. 时间集合T，可以是[0,+∞),(−∞,+∞),N+[0,+∞),(−∞,+∞),N+ 等等，甚至未必是实数集。这里主要考虑实数空间或整数空间

基本定义

互相关函数RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]
互协方差函数CXY=Cov[X(t1),Y(t2)]CXY=Cov[X(t1),Y(t2)]

自相关函数Rx(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]Rx(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]
均方值函数ψ2X(t)=E[X2(t)]=RX(t,t)ψX2(t)=E[X2(t)]=RX(t,t)

分类

相互独立

: 如果∀xi,yj,ti,t′j∀xi,yj,ti,tj′,都有F(x1,…,xn,y1,…,ym;t1,…,tn,t′1,…,t′m)=FX(x1,…,xn,t1,…,tn)FY(y1,…,ym,t′1,…,t′m)F(x1,…,xn,y1,…,ym;t1,…,tn,t1′,…,tm′)=FX(x1,…,xn,t1,…,tn)FY(y1,…,ym,t1′,…,tm′)
那么称两个随机过程 相互独立

独立增量过程

独立增量过程 如果X(t1)−X(t0),…,X(tn)−X(tn−1)X(t1)−X(t0),…,X(tn)−X(tn−1)相互独立，称为 独立增量过程 齐次独立增量过程 X(t)−X(s)X(t)−X(s)的分布只与t−st−s有关

定理：{X(t),t≥0}{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0X(0)=0,那么CX(s,t)=σ2X[min(s,t)]CX(s,t)=σX2[min(s,t)]

泊松过程 满足3条：

1. 是独立增量过程
2. ∀0≤t0<t,N(t0,t)∼π(λ(t−t0))∀0≤t0<t,N(t0,t)∼π(λ(t−t0))
3. N(0)=0N(0)=0

维纳过程 满足一下3条:

1. 是独立增量过程
2. ∀0≤t0<t,w(t)−w(t0)∼N(0,σ2(t−s))∀0≤t0<t,w(t)−w(t0)∼N(0,σ2(t−s))
3. w(0)=0w(0)=0

定理：
{w(t),t≥0}{w(t),t≥0}是维纳过程，那么

1. w(t)w(t)是正态过程
2. w1(t)=Cw(tC2)w1(t)=Cw(tC2)也是维纳过程

平稳过程

二阶距过程 如果∀t,E(X2(t))∀t,E(X2(t)) 存在，称为 二阶距过程 宽平稳过程 满足三个条件：1. 是二阶距过程。2. E(X(t))=mE(X(t))=m与t无关 3. cov(X(t),X(t+τ))=K(τ)cov(X(t),X(t+τ))=K(τ) 与t无关 严平稳过程 对于∀ti,h>0∀ti,h>0，都满足(X(t1),…,X(tn))(X(t1),…,X(tn))和(X(t1+h),…,X(tn+h))(X(t1+h),…,X(tn+h))的联合分布完全一样。

马尔科夫过程

对∀t1<…<tn<t,A⊂R∀t1<…<tn<t,A⊂R，都满足，
PX(t)∈A∣X(t1)=x1,…,X(tn)=xn=PX(t)∈A∣X(tn)=xnPX(t)∈A∣X(t1)=x1,…,X(tn)=xn=PX(t)∈A∣X(tn)=xn，
称之为马尔科夫过程

鞅

∀t∈T,E(∣X(t)∣)<∞∀t∈T,E(∣X(t)∣)<∞
E(X(tn+1)∣X(t1),…,X(tn))=E(X(tn))E(X(tn+1)∣X(t1),…,X(tn))=E(X(tn))
称这个随机过程为 鞅

更新过程

XkXk是独立同分布的正随机变量序列，
定义Sn=∑k=1nXkSn=∑k=1nXk
定义N(t)=maxn∣n≥0,Sn≤tN(t)=maxn∣n≥0,Sn≤t

称N(t)N(t)是更新过程。

更新过程常用于描述设备的更换。

计数过程

（又称点过程）

N(t)N(t)表示时间[0,t][0,t]内，某一事件发生的总次数，称N(t)N(t)是计数过程。

---

ITO引理的证明

Δs=∂s∂xΔx+∂s∂tΔt+∂2s∂x∂tΔxΔt+∂2s∂t2Δt2Δs=∂s∂xΔx+∂s∂tΔt+∂2s∂x∂tΔxΔt+∂2s∂t2Δt2 ⇔(前提：s(x,t)高阶连续) ds=∂s∂xdx+∂s∂tdtds=∂s∂xdx+∂s∂tdt

泊松过程

定义

Def1

• N(0)=0
• N(t)是独立增量过程
• P[N(t+s)−N(s)=n]=e−λt(λt)nn!P[N(t+s)−N(s)=n]=e−λt(λt)nn!

Def2

• N(0)=0
• N(t)有平稳增量性和独立增量性
• P[N(t+s)−N(t)=1]=λh+o(h)P[N(t+s)−N(t)=1]=λh+o(h)
• P[N(t+s)−N(t)≥2]=o(h)P[N(t+s)−N(t)≥2]=o(h)

例题

假设A时间是强度为λλ的泊松过程N(t)N(t)，如果每次事件发生时，有以概率p记录下来，表示为M(t)M(t)，证明M(t)M(t)是以λpλp为强度的泊松过程。

证明提要：
先证明前两个条件。这个不多说。
第三个条件，其实就是证明P[M(t)=m]=P[M(t)=m]=泊松分布公式。证明方法是用条件概率，处理一个求和公式。