概率测度简介

2017年08月02日

Author: Guofei

文章归类: 4-2-概率论，文章编号: 450

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原文链接：https://www.guofei.site/2017/08/02/randomvariable.html

本文介绍的概念：
样本，样本空间
事件
全集
概率测度
概率空间,完备的概率空间

样本，事件

样本空间(sample space)
这里暂时不给出精确定义，而是给出描述：
样本空间是所有样本点的集合

事件(event)
是样本空间的一个子集

全集 (complete collection)
给定样本空间S，一个事件的集合ϵ={A∣A⊂S}ϵ={A∣A⊂S}称为全集，如果：

举例来说，一枚硬币抛10次，
样本空间中有210210个样本。
全集中有22102210个事件。

给定一个样本空间S，一个事件的全集ϵ={A∣A⊂S}ϵ={A∣A⊂S},
概率测度 (probability measure)是这样一种映射Pr:ϵ→[0,1]Pr:ϵ→[0,1],并且满足以下特征

Pr(S)=1Pr(S)=1
如果A∈ϵA∈ϵ,那么Pr(A)≥0,Pr(A¯)=1−Pr(A)Pr(A)≥0,Pr(A¯)=1−Pr(A)
如果对于j=1,2,3,…,Aj∈ϵj=1,2,3,…,Aj∈ϵ是互斥事件(mutually exclusive events)，即∀j≠k,Aj∩Ak=∅∀j≠k,Aj∩Ak=∅ , 那么Pr(⋃jAj)=∑Pr(Aj)Pr(⋃jAj)=∑Pr(Aj)

(S,ϵ,Pr)(S,ϵ,Pr)叫做 概率空间 （probability space）

零事件 如果Pr(A)=0Pr(A)=0,那么事件A∈ϵA∈ϵ在Pr下是一个 零事件 (null event)

完备的测度空间 如果A是一个零事件，且∀A′⊂A∋A′∈ε∀A′⊂A∋A′∈ε,那么(S,ε,Pr)(S,ε,Pr)称为完备概率空间

随机变量：随机变量是一种函数X:S→RX:S→R

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