求解微分方程的方法

微分方程的解

微分方程的通解：任意常数的个数与方程的阶数相同
微分方程的特解：不含任意常数的解

求解一阶微分方程

可分离变量的微分方程

对于以下形式的方程：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x)h(y)
只需将其分离变量为以下形式：
\frac{\mathrm{d}y}{h(y)}=g(x)\mathrm{d}x
随后对方程两边积分即可求出该方程的通解。

一阶非齐次微分方程

对于以下形式的方程：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)
由公式得到通解：
y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(C+\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d} x}\mathrm{d}x)
不过想要化为这个形式的方程，有时还要进行一些代换操作。
例1：
求微分方程 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{y+x^2} 的通解。
解：
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{y}{x}+x
x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=y+x^2
令 u=x^2
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}-2u=2y
u=e^{-\int -2\mathrm{d}x}(C+\int ye^{\int -2\mathrm{d} x}\mathrm{d}x)
u=Ce^{2y}-y-\frac{1}{2}
x^2=Ce^{2y}-y-\frac{1}{2}

一阶齐次微分方程

对于齐次型微分方程方程：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)
其中 f(x,y) 为齐次方程。
可以令 u=\frac{y}{x} ，则有 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} ，代入原方程即可得：
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\varphi (u)-u}{x}
通过分离变量法即可求得 u ，随后用 u=\frac{y}{x} 代回。

伯努利方程

伯努利方程形式如下：
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n
其中 n≠0,1 。
另 z=y^{1-n} ，即可将上式化为：
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)
按照一阶非齐次微分方程求解方法求出 z 的通解，用 z=y^{1-n} 代回即可。

求解高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

将高阶微分方程通过换元降阶为一阶微分方程后求解即可。

二阶常系数齐次微分方程

对于二阶常系数齐次微分方程：
ay^{\prime \prime}+by^{\prime}+cy=0
它的特征方程为：
ar^2+br+c=0
对于该特征方程根的不同情况，分以下情况讨论：

①当 r_1,r_2 为两个不同实根时

微分方程的通解为：
y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}

②当 r_1,r_2 为两个相等实根时

微分方程的通解为：
y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 xe^{r_2 x}

③当 r_1,r_2 为一对共轭复根 r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i 时

微分方程的通解为：
y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)

二阶常系数非齐次微分方程

对于二阶常系数非齐次微分方程：
ay^{\prime \prime}+by^{\prime}+cy=f(x)
它的特征方程为：
ar^2+br+c=0
对于 f(x) 和该特征方程根的不同情况，分以下情况讨论：

①对于 f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) 形式

微分方程的一个特解为：
y^*=x^k R_m(x)e^{\lambda x}
其中：
R_m(x) 是与 P_m(x) 同次的多项式；
k 按 \lambda 不是特征方程的根、是单根、是重根依次取0、1、2。
使用待定系数法设出 R_m(x) 表达式（如 a_0 x^2+a_1 x+a_2 )，代回原微分方程求解即可求出特解。
微分方程的通解即为对应齐次微分方程的通解加上该特解。

②对于 f(x)=e^{\lambda x}[P_l (x)\cos\omega x+Q_n (x)\sin\omega x] 形式

微分方程的一个特解为：
y^*=x^k e^{\lambda x}[R_{1m}(x)\cos\omega x+R_{2m}(x)\sin\omega x]
其中：
R_{1m}(x) 和 R_{2m}(x) 都是与“ P_l (x) 、 Q_n (x) 中的最高次的次数”同次的多项式；
k 按 \lambda+\omega i 不是特征方程的根、是单根依次取0、1。
使用待定系数法设出 R_{1m}(x) 和 R_{2m}(x) 表达式（如 ax+b 和 cx+d )，代回原微分方程求解即可求出特解。
微分方程的通解即为对应齐次微分方程的通解加上该特解。
当然试题不可能让你如此机械化就能够完成任务，换元是过不去的坎。
例2：求微分方程 x^2 y^{\prime \prime}+4xy^{\prime}+2y=12x^2