关于PBR渲染方程的理解

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基于物理的渲染（Physically Based Rendering , PBR）技术，自迪士尼在SIGGRAPH 2012上提出了著名的“迪士尼原则的BRDF（Disney Principled BRDF）”之后，由于其高度的易用性以及方便的工作流，已经被电影和游戏业界广泛使用，并成为了次时代高品质渲染技术的代名词。

我们列出方程，再附上解读

$L_0(p,ω_o)=∫_Ωf_r(p,ω_i,ω_o)L_i(p,ω_i)n⋅ω_idω_i$

渲染方程，ω_i标记入射光方向的单位矢量，p是光线碰撞点，ω_0是标记反射光方向单位矢量，

n是碰撞面的法线单位矢量，L_i表示入射光的辐射率，辐射率是单位时间单位立体角单位有向面积的电磁辐射能量，L_0表示出射光的辐射率

下面我们看下图形描述:

上图中 $v=ω_0 , l =ω_i, h:=norm((ω_0+ω_i)/2)$

这里的ω表示公式中的单位立体角，由于公式中的单位面积是和光线垂直的方向面积， Acos(theta)表示公式中的单位面积

回到公式:

$L_0(p,ω_o)=∫_Ωf_r(p,ω_i,ω_o)L_i(p,ω_i)n⋅ω_idω_i$

我们看到这个公式对矢量ω_i积分，这个积分实际上就是表示了对立体角的积分（对应2维空间一个角度可以用一个2维单位矢量描述，三维空间的立体角可以用一个3维单位矢量来描述），而公式中的函数自变量都带有ω_i，说明对于ω_i ,有一个不一样的积分因子(其实就是不同的光线)，因此可以看出这个公式的含义是:对涵盖Ω的所有入射立体角方向的光线朝某个固定方向ω_0 反射的能量积分（求和）也就是说公式中的积分因子可以对应到一条光线，下面我们来分析积分因子的各项的内涵

$n⋅ω_i$ 显然表示单位面积中的余弦分量

$L_i(p,ω_i)$ 这个是和材质有关的公式（所以和p点有关，p点决定了这一点的材质信息），我们可以暂时先放在一边。

$f_r=k_df_{lambert}+k_sf_{cook−torrance}$

$(f_{lambert}=\frac{c}{π} , f_{cook−torrance}=\frac{DFG}{4(ωo⋅n)(ωi⋅n)}$

这个是关键，也就是基于PBR的光照模型，光线反射可以分为漫反射和镜面反射两部分:

$k_df_{lambert}$ 对应漫反射分量， $k_sf_{cook−torrance}$ 对应镜面反射

其中 $k_d+k_s=1$ 其实就是比例，各个分量占比多少，根据能量守恒，和为1

下面再看 $f_{lambert}=\frac{c}{π}$

大家发现这个公式是一个常量，也就是和入射角，反射角，法线什么都没关系，这是为什么？

简单思考一下，漫反射这里采用的是朗伯模型，也就是各向同性漫反射，也就是光线不管往哪个方向反射，概率都一样，用能量角度来看，取个平均值或者期望，也都一样，既然都一样，自然和方向没关系了。

下面看 $f_{cook−torrance}=\frac{DFG}{4(ω_0⋅n)(ωi⋅n)}$

这个是什么意思，首先看分子，有个三个变量;

D:法线分布函数 F:菲涅尔方程 G:几何函数

$D = NDF_{GGXTR}(n,h,α)=\frac{α^2}{π((n⋅h)^2(α^2−1)+1)^2}$

这是D的公式，这个公式怎么理解？

首先PBR的物理模型是微平面模型，也就是可以理解为p点上有无数个向着各个方向的微平面，所以镜面反射就是这些微平面的反射，考虑到模型简化，实际上，我们要找的是反射方向为ω_0的平面，那么这个平面的法线方向只能是 $h=norm((ω_0+ω_i)/2)$ 只有这个平面能把入射光反射到指定方向上，同时公式中还有个alpha,这个表示p点的粗糙度，

综上，D决定于 h 和粗糙度，那么我们可以对D如下理解：

D表示p点上法线为h方向的微平面在所有p点的微平面中所占的比例，而这个比例由:法线h 和粗糙度alpha 公共决定。

从直观来看，显然，如果h和n越接近，可以认为这个方向的微平面应该越多（切平面方向的微平面应该更多，），所以n和h越近，乘积越大，则分母越小，整个值越大，复合。

同时当n\dot h = 1时（同向），此时，alpha越小（不为0），则整个值越大，也符合越光滑反射越强的逻辑。

$F=F_{Schlick}(h,v,F_0)=F_0+(1−F_0)(1−(h⋅v))^5$

我们来看下菲涅尔方程，这个其实是Schlick给的近似公式，菲涅尔模型的意思是如果视线和平面法线的夹角越大，则反射越强。显然，我们只需要考虑法线为h的微平面（只有这个能反射到正确的角度），那么h和v的点积就决定了这个夹角，夹角越小，F的值越小，为90度时，F=1, 可见F表示的就是一个0到1之间系数，90度时认为没有能量损失，平行时能量损失最大。

$G=G_{SchlickGGX}(n,x,k)=\frac{n⋅x}{(n⋅x)(1−k)+k} （k_{direct}=\frac{(α+1)^2}{8} ,k_{IBL}=α^2/2）$

我们来看下G,几何函数，几何函数的含义是微平面可能互相遮挡，如果越粗糙，则被遮挡的概率越高，因此和粗糙度成反比，我们用k_direct的公式来看，alpha越大，k越大，则分母越大，整个分子越小，符合.k=0时，G=1 ,k=1时G=n\dot v ,这里的x是什么意思，因为遮挡分为对入射光的遮挡和对反射光的遮挡，所以x用入射矢量和反射矢量代入进去，

由于入射遮挡是发生在N的计算之前，所以h的方向并不会影响该函数的值；同时反射遮挡发生在N的计算之后，所以也只和反射角度有关，

考虑到入射和反射的计算公式为:

$G(n,ω_i,ω_o,k)=G(n,ω_i,k)G(n,ω_o,k)$

以上，合并到一起，得到:

$L_0(p,ω_0)=∫_{Ω}(\frac{k_dc}{π}+\frac{k_sDFG}{4(ω_o⋅n)(ωi⋅n)})L_i(p,ω_i)n⋅ω_idω_i$

至此，就用一种相对比较通俗易懂的方式讲清楚了各个公式的含义了，哈哈

其实我看过很多文章，要不是就是完全没有推理，要不就是长篇大论讲了一堆

物理学历史，其实个人觉着我们分析问题都要抓住主要矛盾和次要矛盾, 用最简单的语言提供

最有价值的信息

最后，我做一点修正，很多文章中渲染方程关于辐射率的概念都是用单位面积，单位时间，单位立体角这种方式定义，我也是这么定义的，最近经过我仔细分析，这种定义其实是错误的，至少说是不准确的。

我的结论是其实辐射率应该用微分形式来定义，因为单位立体角这种定义方式指的是平均的概念，而它其实表达的是微分极限的概念，这一点从公式推导出就能看出来！

如果读者觉着这篇文章对你有帮助，请一键三连，谢谢！

关于PBR渲染方程的理解

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