二项式定理及其推广公式的一种简单理解办法

0x00 二项式定理#

写在最前：Ckn=(nk)=n!(n−k)!⋅k!

0x00.1 杨辉三角#

前情提要：一种特殊的输出杨辉三角的方法

      1               (a+b)**0 = 1
     / \
    1   1             (a+b)**1 = a+b
   / \ / \
  1   2   1           (a+b)**2 = a² + 2ab + b²
 / \ / \ / \
1   3   3   1         (a+b)**3 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
   ... ...

不难发现，杨辉三角每一行的数字正好就是 (a+b)n 展开之后的对应多项式，而每一项的系数又和组合数 (nk) 是相等的。

一种简单的理解是，杨辉三角中的每一个数字，表示的是从顶点开始，只向左下或右下前进，最终到达该数字所在位置的所有可能路径的总数。经过基本的推理，可以看出对于第 n 行的左起第 k 个数字，想要从顶点到达该数字所在位置都需要且只需要向左 n−k 次、向右 k−1 次。假想小明现在按照此规则从顶点出发，显然，小明每向左或向右一次，都会向下移动一行；因此，小明向下移动 n−1 行后，便会到达目标数所在的行。换言之，小明在路途上将且仅将移动 n−1 次，而这 n−1 次中有且仅有 n−k 次是向左下方移动的。于是，得出结论：这本质上是个超几何分布问题，可能性总数可以表示为 Cn−kn−1=Ck−1n−1=(n−1k−1)。

而与之对应的，多项式展开也是一个超几何分布问题。这是因为展开式中的 p⋅aqbn−q 项，p 表示的是有多少个 aqbn−q，而每个 aqbn−q 都是在 (a+b)(a+b)⋯(a+b) 中挑选出 q 组，令这 q 组的 a 和余下的 n−q 组中的 b 相乘所得到的，从 n 组中选出 q 组的可能性总数为 (nq)。

这样就可以推出杨辉三角的第 n+1 行全部数字是 (a+b)n 展开式的二项式系数一一对应的。

稍作拓展：

令 f(x,y)=(x+y)n，求 f(x,y) 的展开式二项式系数之和。

实际上，它的展开式的第 i+1 项可以直接表示为 (ni)⋅xn−iyi，其中 0≤i≤n。换言之，我们如果想要求其二项式系数之和 ∑ni=0(ni)，就可以通过将 x=1,y=1 代入到 ∑ni=0(ni)⋅xn−iyi 中来计算。换言之，所求即为：f(1,1)=2n。

注意到 2n 还可以视作 n 位二进制数的总数，这仅仅是一个巧合吗？

0x01 推广公式#

在那耸立的高岗黑岩之上，恶魔的秽语悄然响起：∑ni=0mi⋅(ni)=(m+1)n

引证：(nn−k)=(nk)，这其实很好理解。(nn−k) 表示从 n 个东西里挑出 n−k 个，剩下 k 个；(nk) 表示从 n 个东西里挑出 k 个，剩下 n−k 个。但是实际上，每一种挑出来的组合，必然对应且仅对应一组被剩下了的组合；所以，剩下 k 个也可以理解为挑出来了 k 个，只不过挑出来它们是为了把它们剩下。当然最直观的证明方法是用组合数定义，展开阶乘，把相同的项消掉，再重新写成阶乘、转换为组合数的表达形式。

是的，这里有一个二项式定理的推广公式，就是 ∑ni=0mi⋅(ni)=(m+1)n，其中 m,n∈Z+。现在我们要谈论的是该如何去简单理解这个公式。

我们先看看 m=1 的情况，这也就是上一个标题最后所给出的情况：∑ni=0(ni)=2n。为了简单地解释它，我们暂时还是需要用到杨辉三角：小明移动 n 次后，一定会来到第 n+1 行的某一个数所在的位置。而他想要移动 n 次，就需要做出 n 个选择，每次都必须在向左下和向右下中二选其一。所以，总的可能数为：2n，这也就是推广公式的右手侧。而左手侧所表示的正是小明走到第 n+1 行的每一个数的可能之和，所以自然也就等于 2n。

那么，对这种思考方式稍加抽象，我们可以用二进制数的思想来考虑：有一个 n 位二进制数，它的第 k 位为 1 则表示小明第 k 次选择了向左下，为 0 则表示选择了向右下。再进一步抽象，把小明完全剥离出去，就会变成：列举出所有的 n 位二进制数，这些二进制数当中，有且仅有 k 个 1 的数的数量就是 (nk)（这等价于从 n 位里挑出 k 位，令它们为 1，其余位为 0）。这种方式，在数学上更容易说明 m=1 时该式子成立。

如果 m>1 呢？我们该怎样推广这个式子？其实也很简单，只需要对应地用 k 进制数的思想就好了。

例如，令 m=2：列举出所有的 n 位三进制数，共 3n 个。这些三进制数当中，有且仅有 k 位不是 0 的数的数量就是 (nk)（这等价于从 n 位里挑出 k 位，令它们为 1 或 2，其余位为 0）。注意到，每一个非 0 位都有两种选择：1 或 2。所以一个 n 位三进制数中如果有 n−k 个 0，剩下的 k 位就会有 2k 种可能性；而 “ n 位三进制数中有 n−k 个 0” 本身已经有 (nn−k)=(nk) 种可能，二者相乘正好就是 (nk)⋅2k。于是，所有的 (nk)⋅2k 相加，应该等于n 位三进制数的总数 3n。

再往下其实也不用推了，思路是一样的。

来源：https://blog.jiejiss.com/