答 DeepTech 记者问

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－苏格拉底

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答 DeepTech 记者问

- 卢昌海 -

本文是应一位 “MIT Technology Review 中文版 & DeepTech 深科技” 记者的约稿而写的答问。 所问的两个问题——据记者介绍——隶属于上海交通大学与 Science 杂志 2021 年 4 月 10 日联合发布的 “125 个科学问题”。

问： 什么使素数如此特别？

答： 我们知道， 很多正整数可以分解为其他——即不同于它自己的——正整数的乘积， 比如 15 = 3 × 5， 1001 = 7 × 11 × 13 等。 但也有一些正整数不能这么分解， 比如出现在上述分解的结果里的 3、5、7、11、13 等。 那后一类正整数——即不能分解为其他正整数的乘积的正整数——就是所谓的素数。 因此， 素数的特别之处首先体现在它的乘法分解性质上， 这也是它的定义性质。

素数的另一个性质， 是所有大于 1 的正整数都可分解为素数的乘积， 这个性质与素数自身不能分解为其他正整数的乘积这一定义性质合在一起， 显示了素数一方面可用来 (在乘法意义上) 构造其他正整数， 另一方面， 则恰好是这种构造中的 “最小单元”——因为它自身不能进一步被构造。 这种性质使得素数对正整数而言， 就像是物质世界里可用来构造所有分子的 “最小单元”： 原子 (当然， 物质世界有它自己的复杂性， 原子只在化学层面上是 “最小单元”， 作为类比就不细究了)。 这是素数的另一个特别之处。

由于这些特别之处， 素数对于数论乃至某些其他数学及自然科学领域都有着类似原子对于物质世界那样的重要性。

问： 黎曼猜想是真的吗？

答： 这个目前尚无人知晓。 黎曼猜想提出至今虽已有 160 年以上的历史， 其间经过了很多第一流数学家的努力， 却依然是数学中的一个 “未解之谜”， 既没有人能证明其成立， 也没有人能找到反例或以其他方式证明其不成立 (虽然两方面都不时有人宣称做出了结果， 但皆未能通过同行评议， 更不曾得到公认)。

具体地说， 黎曼猜想所宣称的， 是一个被称为黎曼 ζ 函数的复变量函数的所谓 “非平凡零点” 全都位于一条被称为 “临界线” 的直线上。 目前已证明的有代表性的结果主要有这样一些： 首先是 (1896 年) 证明了 “非平凡零点” 全都位于以 “临界线” 为中线的一个所谓 “临界带” 上——这个结果针对了所有 “非平凡零点”， 却必须将 “临界线” 放宽为 “临界带”； 其次是 (2012 年) 证明了至少有 41.28% 的 “非平凡零点” 位于 “临界线” 上——这个结果扣紧了 “临界线”， 却只涵盖了不到一半的 “非平凡零点”； 再者则是 (2020 年) 证明了前 12,363,153,437,138 (约 12 万亿) 个 “非平凡零点” 全都位于 “临界线” 上——这个结果既扣紧了 “临界线” 也提到了 “全都”， 却只是针对最靠前 (所谓 “最靠前”， 是指虚部的绝对值最小) 的有限多个 “非平凡零点”， 而黎曼 ζ 函数的 “非平凡零点” 有无穷多个。

因此， 上述结果虽各有千秋， 却都没能解决黎曼猜想。 除上述结果外， 还有一些其他类型或沿其他思路的研究， 也都尚不能解决黎曼猜想。 也因此， 我们目前还不知道黎曼猜想 “是真的吗？”。

2021 年  4 月 15 日完稿
2021 年  4 月 19 日发布
https://www.changhai.org/

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