教案：一道有关叠加固体的压强的比问题

这是自己当时准备一个家教面试的时候准备的面试题目。 还挺认真的写了个教案。现在发布出来和大家分享。 其实做完了这个练习我觉得当老师确实不简单，不单单自己要会做，会讲，还要考虑到别人的接受水平，语言表达的误差。 这篇blog作为这次还算成功的家教面试的纪念吧。因为哥最终还是要去北京，南京的家教确实很难带下去，也不利于小朋友的发展。 这里的教案经过了差不多五次大修改，基本我相信这是比较好的方法了。

不到之处，请多指教，我的email：[email protected]

同学们好，我是你们的初中物理老师。 今天我想和大家分享一下关于叠加固体压强的比的一些体会。 叠加固体压强的比是我们初中物理的难点和重点，也是考试的时候特别喜欢出的考察学生素质的题目。

首先老师想问问大家，如果是单一的物体计算它的压强该用什么公式呢？

( $p=\frac{F}{S}$ )

但是，如果是多个固体叠加后，这个时候的压强是多少呢？ 比如对于这样的情形，我们该怎么求解呢？两个圆柱体$A$,$B$分别如图这样放置。

我们并不可以直接代入上述的公式，往往我们还要仔细的区分这里的压力和受力面积到底是多少，才可以确定压强公式。这里对于压力及受力面积的确定比较容易出现错误，今天呢，我们就来看看到底该怎么解决这样的问题。

首先这里我们感到不太容易的是什么？

对，是物体叠在了一起，这个特别难过。那么我们更好的方法是什么？

好，我们先来看看最最简单的情况，如果A，B两个物体独立的放在地上，它们之间的压强比是多少？

老师想问问大家，这个时候的压强比是多少？

（$ \frac{p_A}{p_B} $ = $G_A / G_B \cdot S_B / A_B $）

这里我们得到了一个公式，那么这个公式是不是有用呢？也就是说是不是压强比只是和$G_A / G_B$,$S_A / S_B$

（提问)对于下面这幅图我们需要求的压强有几个？

分别是什么？

( pA⇒B,pB⇒earth,pB⇒A,pA⇒earthpA⇒B,pB⇒earth,pB⇒A,pA⇒earth )

非常好，那么下面我们就来仔细分析一下，各个压强的大小计算。如果我统一用$G_A$,$G_B$,$S_A$,$S_B$的大小来表示的时候，结果是多少。 我们从左往右一个个来数。

好，经过大家的努力，我们得到了这张表格，给出了所有的压强的表达。

那么我们现在就可以牛刀小试一下，试着求解两个压强之比。 比如，我现在求解pA⇒BpB⇒earthpA⇒BpB⇒earth该是多少？

依照表格我们有

pA⇒BpB⇒earth=GASA/(GA+GB)SB=GAGA+GBSBSApA⇒BpB⇒earth=GASA/(GA+GB)SB=GAGA+GBSBSA

同理，如果我要求pA⇒earthpB⇒ApA⇒earthpB⇒A该是多少？

依照表格代入我们有

pA⇒earthpB⇒A=(GA+GB)SA/GBSA=GA+GBGBSASA=GA+GBGBpA⇒earthpB⇒A=(GA+GB)SA/GBSA=GA+GBGBSASA=GA+GBGB

现在我们来看看我们在这里得到的公式是不是在实战中有用。

我先把题目写一下： 已知，如图1的两个圆柱体A，B这样两种情况放置。

1. pA⇒earth/pB⇒A=3pA⇒earth/pB⇒A=3
2. ρA=ρBρA=ρB
3. hA=4hBhA=4hB

问题是： 求pA⇒BpB⇒earthpA⇒BpB⇒earth。

到了这里大家有没有发现这个就是我们刚刚推导的结果？

所以从pA⇒earth/pB⇒A=3pA⇒earth/pB⇒A=3我们可以得到GA+GBGB=3GA+GBGB=3,所以GA=2GBGA=2GB

而为了求出问题，我们需要知道： GAGA+GBSBSAGAGA+GBSBSA这里面GAGA+GB=2/3GAGA+GB=2/3,所以我们要求得就是SBSASBSA。

而条件告诉我们，ρA=ρBρA=ρB， hA=4hBhA=4hB 所以我们可以知道

GA=2GB⇒ρAhASAg=2ρBhBSBgGA=2GB⇒ρAhASAg=2ρBhBSBg

SBSA=2/1SBSA=2/1

所以所求为：

pA⇒BpB⇒earth=GAGA+GBSBSA=2/3⋅1/2=4/3pA⇒BpB⇒earth=GAGA+GBSBSA=2/3⋅1/2=4/3

$总结$ 让我们来总结一下我们这道题目。大家再次回味一下我们的解题过程，其实我们就是抓住了两组量之间的关系来进行比较的。

这两组关系就是$G_A/G_B$,$S_A/S_B$。其实在类似的题目中这个都是最最基本的要求。

同时对于这类题目大家要善于转化求出着这种关系。比如，我现在重新出了一道题目但是不是圆柱体而是长方体，这样作有什么区别么？

没有，万变不离其宗，还是要找到对应的力和对应的面积。我们的关注点始终牢牢把握在$G_A/G_B$与$S_A/S_B$这样两组关系上面。

好了这道题目是两个固体叠加，那么如果是三个固体叠加，我们的解法是不是有什么不同呢？

没有，其实也一样的是在找关系的时候，把握住$G_A/G_B$和$S_A/S_B$这两组对应量的关系。当然随着物体数目的增多，我们最终会遇到很多数学上的困难。但是如果假设一下还是可以计算的。

(视时间多少决定是否讲)

比如课后有能力的同学可以思考一下这样一道题目：

在水平桌面上有一叠金属片，最下面一块重力为$G$，面积为$S$，它相邻上面的块金属片重为$G/2$，面积为$S/2$，依此类推，金属片的重和面积逐渐减半，一直叠下去，则每个金属片表面所受压强之比是多少？桌面所受的压强为多少？

(每个金属片表面所受的压强之比是$1:1$,桌面所受的压强为$2G/S$)