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线性代数基础知识点整理
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线性系统(Linear System)
一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。
- Persevering Multiplication
- Persevering Addition
- 多元线性方程组是一个线性系统
向量(Vectors)
向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。
- 向量与标量相乘，每一维都与该标量相乘：
- 向量相加，使用平行四边形法则：
-零向量：所有维度的值都为0：
- 标准向量：一个维度是1，其余维度是0:
- 向量集：可以包含有限个或无限个向量：
- Rn: 所有的n维向量组成的向量集合
矩阵Matrix
矩阵是一组向量：
如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列：
-
矩阵与标量相乘：每一个元素分别与该标量相乘。
-
矩阵相加：两个矩阵的
形状必须一致，同位置的元素分别相加。 -
零矩阵：所有元素均为0的矩阵。
-
单位矩阵Identity matrix：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用I(n)表示n*n的单位矩阵。
- 同形状的矩阵的一些运算法则：
A、B、C是M*N的矩阵，S和T是标量：
A + B = B + A
(A + B)+ C = A+ (B + C)
(S * T) * A = S * (T * A)
S*(A+ B)= S * A+ S * B
(S + T) * A= S * A + T * A
- 矩阵的转置：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用A(T)表示。
- 矩阵转置的一些运算规则：
矩阵与向量相乘
矩阵A的列数要与向量x的维数相同。
矩阵和向量相乘，结果如下：
- 从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。
- 从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。
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