柯西不等式的若干证明方法

设 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_na1​,a2​,⋯,an​ 和 b1,b2,⋯,bnb_1,b_2,\cdots,b_nb1​,b2​,⋯,bn​ 为任意实数，则

(∑i=1naibi)2⩽(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) (i=1∑n​ai​bi​)2⩽(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)

当且仅当 a1b1=a2b2=⋯=anbn\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}b1​a1​​=b2​a2​​=⋯=bn​an​​ 时（当某 bi=0b_i=0bi​=0 时，认为 ai=0a_i=0ai​=0）等号成立．

这个不等式称为柯西不等式．

柯西不等式由很多证明方法，这里我们介绍几种有代表性的方法．

1. 参数配方法

在旧版的高中选修课本 4-5《不等式选讲》中，介绍的就是这种方法．

我们引入一个二次函数

f(x)=(∑i=1nai2)x2+2(∑i=1naibi)x+(∑i=1nbi2)f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) f(x)=(i=1∑n​ai2​)x2+2(i=1∑n​ai​bi​)x+(i=1∑n​bi2​)

f(x)=(∑i=1naix+bi)2⩾0f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i x + b_i\right)^2 \geqslant 0 f(x)=(i=1∑n​ai​x+bi​)2⩾0

因此，考虑它的判别式，有

Δ=4(∑i=1naibi)2−4(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)⩽0\Delta = 4\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \leqslant 0 Δ=4(i=1∑n​ai​bi​)2−4(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)⩽0

(∑i=1naibi)2⩽(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) (i=1∑n​ai​bi​)2⩽(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)

这种方法的好处是，过程中只用到了配方法和二次函数的判别式，中学的学生对这两种技巧都比较熟悉．

2. 数学归纳法

证明一个和自然数 nnn 有关的命题 ，考虑数学归纳法是一种比较自然的想法．

我们考虑证明一个更强的结论：

(∑i=1n∣aibi∣)2⩽(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) (i=1∑n​∣ai​bi​∣)2⩽(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)

这样可以避免负数的讨论．

当 n=2n=2n=2 时，

(a12+a22)(b12+b22)−(∣a1b1∣+∣a2b2∣)2=(∣a1b2∣−∣a2b1∣)2⩾0\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right) - \left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 = \left(\left|a_1b_2\right|-\left|a_2b_1\right|\right)^2 \geqslant 0 (a12​+a22​)(b12​+b22​)−(∣a1​b1​∣+∣a2​b2​∣)2=(∣a1​b2​∣−∣a2​b1​∣)2⩾0

(∣a1b1∣+∣a2b2∣)2⩽(a12+a22)(b12+b22)\left(\left|a_1b_1\right|+\left|a_2b_2\right|\right)^2 \leqslant \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right) (∣a1​b1​∣+∣a2​b2​∣)2⩽(a12​+a22​)(b12​+b22​)

不等式成立．

假设当 n=kn=kn=k 时，不等式成立，即

(∑i=1k∣aibi∣)2⩽(∑i=1kai2)(∑i=1kbi2)\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2\right) (i=1∑k​∣ai​bi​∣)2⩽(i=1∑k​ai2​)(i=1∑k​bi2​)

当 n=k+1n=k+1n=k+1 时，则要证

(∑i=1k+1∣aibi∣)2⩽(∑i=1k+1ai2)(∑i=1k+1bi2)⟺(∑i=1k∣aibi∣+∣ak+1bk+1∣)2⩽(∑i=1kai2+ak+12)(∑i=1kbi2+bk+12)\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^{k+1} \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{k+1} b_i^2\right) \\[2ex] \Longleftrightarrow &\left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned} ⟺​(i=1∑k+1​∣ai​bi​∣)2⩽(i=1∑k+1​ai2​)(i=1∑k+1​bi2​)(i=1∑k​∣ai​bi​∣+∣ak+1​bk+1​∣)2⩽(i=1∑k​ai2​+ak+12​)(i=1∑k​bi2​+bk+12​)​

(∑i=1k∣aibi∣+∣ak+1bk+1∣)2⩽(∑i=1kai2∑i=1kbi2+∣ak+1bk+1∣)2⩽(∑i=1kai2+ak+12)(∑i=1kbi2+bk+12)\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^k \left|a_ib_i\right| + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right|\right)^2 &\leqslant \left(\sqrt{\sum_{i=1}^k a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^k b_i^2} + \left|a_{k+1}b_{k+1}\right| \right)^2 \\[2ex] &\leqslant \left(\sum_{i=1}^k a_i^2 + a_{k+1}^2\right) \left(\sum_{i=1}^k b_i^2 + b_{k+1}^2\right) \end{aligned} (i=1∑k​∣ai​bi​∣+∣ak+1​bk+1​∣)2​⩽⎝⎛​i=1∑k​ai2​​i=1∑k​bi2​​+∣ak+1​bk+1​∣⎠⎞​2⩽(i=1∑k​ai2​+ak+12​)(i=1∑k​bi2​+bk+12​)​

不等式成立．这里第一个不等号用的是 n=kn=kn=k 的情形，第二个不等号用的是 n=2n=2n=2 的情形．

(∑i=1naibi)2⩽(∑i=1n∣aibi∣)2⩽(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n \left|a_ib_i\right|\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) (i=1∑n​ai​bi​)2⩽(i=1∑n​∣ai​bi​∣)2⩽(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)

实际上，归纳法的处理方法有很多种，这只是其中一种．

3. 正规化方法

所谓正规化（Normalization)，就是让 ∑i=1nai2=∑i=1nbi2=1\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2 = 1i=1∑n​ai2​=i=1∑n​bi2​=1．

如果有 ∑i=1nai2=∑i=1nbi2=1\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1i=1∑n​ai2​=i=1∑n​bi2​=1，注意到

aibi⩽12(ai2+bi2)a_ib_i \leqslant \frac12 \left(a_i^2+b_i^2\right) ai​bi​⩽21​(ai2​+bi2​)

∑i=1naibi⩽∑i=1n12(ai2+b22)=12∑i=1nai2+12∑i=1nbi2=12+12=1\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left(a_i^2+b_2^2\right) = \frac12 \sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac12 \sum_{i=1}^n b_i^2 = \frac12 + \frac12 = 1 i=1∑n​ai​bi​⩽i=1∑n​21​(ai2​+b22​)=21​i=1∑n​ai2​+21​i=1∑n​bi2​=21​+21​=1

对于不满足条件的 aia_iai​ 和 bib_ibi​，则可以对其进行正规化，令

a^i=ai∑i=1nai2b^i=bi∑i=1nbi2\hat{a}_i = \frac{a_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \quad \hat{b}_i = \frac{b_i}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}} a^i​=i=1∑n​ai2​​ai​​b^i​=i=1∑n​bi2​​bi​​

∑i=1na^i2=∑i=1n(ai/∑i=1nai2)2=∑i=1nai2/∑i=1nai2=1∑i=1nb^i2=∑i=1n(bi/∑i=1nbi2)2=∑i=1nbi2/∑i=1nbi2=1\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \hat{a}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n a_i^2 = 1 \\[2ex] \sum_{i=1}^n \hat{b}_i^2 &= \sum_{i=1}^n \left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n b_i^2 = 1 \end{aligned} i=1∑n​a^i2​i=1∑n​b^i2​​=i=1∑n​(ai​/i=1∑n​ai2​​)2=i=1∑n​ai2​/i=1∑n​ai2​=1=i=1∑n​(bi​/i=1∑n​bi2​​)2=i=1∑n​bi2​/i=1∑n​bi2​=1​

由上面的推导可知

∑i=1na^ib^i=∑i=1n(ai/∑i=1nai2)(bi/∑i=1nbi2)⩽1\sum_{i=1}^n \hat{a}_i\hat{b}_i = \sum_{i=1}^n \left(a_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\right)\left(b_i \bigg/ \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}\right) \leqslant 1 i=1∑n​a^i​b^i​=i=1∑n​(ai​/i=1∑n​ai2​​)(bi​/i=1∑n​bi2​​)⩽1

去掉分母就可以得到

∑i=1naibi⩽∑i=1nai2⋅∑i=1nbi2\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} i=1∑n​ai​bi​⩽i=1∑n​ai2​​⋅i=1∑n​bi2​​

4. 拉格朗日恒等式

由拉格朗日恒等式，

(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)−(∑i=1naibi)2=∑1⩽i<j⩽n(aibj−ajbi)2⩾0\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \geqslant 0 (i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)−(i=1∑n​ai​bi​)2=1⩽i<j⩽n∑​(ai​bj​−aj​bi​)2⩾0

显然可得柯西不等式成立．

拉格朗日恒等式的证明：

(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)−(∑i=1naibi)2=(∑i=1n∑j=1nai2bj2)−(∑i=1n∑j=1naibiajbj)=(∑i=1nai2bi2+∑1⩽i<j⩽nai2bj2+∑1⩽i<j⩽naj2bi2)−(∑i=1nai2bi2+2∑1⩽i<j⩽nnaibiajbj)=∑1⩽i<j⩽nai2bj2+∑1⩽i<j⩽naj2bi2−2∑1⩽i<j⩽naibjajbi=∑1⩽i<j⩽n(aibj−ajbi)2\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)- \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2\right) - \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 \right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 +2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}^n a_ib_ia_jb_j\right) \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_i^2b_j^2 + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_j^2b_i^2 - 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_ib_ja_jb_i \\[2ex] =&\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left( a_ib_j-a_jb_i \right)^2 \end{aligned} ====​(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)−(i=1∑n​ai​bi​)2(i=1∑n​j=1∑n​ai2​bj2​)−(i=1∑n​j=1∑n​ai​bi​aj​bj​)(i=1∑n​ai2​bi2​+1⩽i<j⩽n∑​ai2​bj2​+1⩽i<j⩽n∑​aj2​bi2​)−(i=1∑n​ai2​bi2​+21⩽i<j⩽n∑n​ai​bi​aj​bj​)1⩽i<j⩽n∑​ai2​bj2​+1⩽i<j⩽n∑​aj2​bi2​−21⩽i<j⩽n∑​ai​bj​aj​bi​1⩽i<j⩽n∑​(ai​bj​−aj​bi​)2​

5. 参数平均值不等式

我们借助含有参数的平均值不等式：

aibi⩽12(m2ai2+bi2m2)a_ib_i \leqslant \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right) ai​bi​⩽21​(m2ai2​+m2bi2​​)

∑i=1naibi⩽∑i=1n12(m2ai2+bi2m2)=12(m2∑i=1nai2+∑i=1nbi2m2)\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqslant \sum_{i=1}^n \frac12 \left( m^2a_i^2 + \frac{b_i^2}{m^2} \right) = \frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right) i=1∑n​ai​bi​⩽i=1∑n​21​(m2ai2​+m2bi2​​)=21​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​m2i=1∑n​ai2​+m2i=1∑n​bi2​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

取 m2=∑i=1nbi2∑i=1nai2m^2 = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}}m2=i=1∑n​ai2​i=1∑n​bi2​​​，则

12(m2∑i=1nai2+∑i=1nbi2m2)=12(∑i=1nbi2∑i=1nai2⋅∑i=1nai2+∑i=1nai2∑i=1nbi2⋅∑i=1nbi2)=12((∑i=1nbi2)(∑i=1nai2)+(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2))=(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\begin{aligned} &\frac12 \left( m^2\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{m^2} \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2}} \cdot \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \\[3ex] = &\frac12 \left( \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)} + \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \right) \\[3ex] = &\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)} \end{aligned} ===​21​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​m2i=1∑n​ai2​+m2i=1∑n​bi2​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​21​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​i=1∑n​ai2​i=1∑n​bi2​​​⋅i=1∑n​ai2​+i=1∑n​bi2​i=1∑n​ai2​​​⋅i=1∑n​bi2​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​21​⎝⎛​(i=1∑n​bi2​)(i=1∑n​ai2​)​+(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)​⎠⎞​(i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)​​

命题得证．

这是一个技巧性比较强的方法．

6. 排序不等式

(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)=∑i=1n∑j=1nai2bj2=∑i=1n∑j=1naibj⋅aibj(∑i=1naibi)2=∑i=1n∑j=1naibi⋅ajbj=∑i=1n∑j=1naibj⋅ajbi\begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2b_j^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_ib_j \\[2ex] \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_i \cdot a_jb_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ib_j \cdot a_jb_i \end{aligned} (i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)=i=1∑n​j=1∑n​ai2​bj2​=i=1∑n​j=1∑n​ai​bj​⋅ai​bj​(i=1∑n​ai​bi​)2=i=1∑n​j=1∑n​ai​bi​⋅aj​bj​=i=1∑n​j=1∑n​ai​bj​⋅aj​bi​​

第一行的对应是

a1b1,⋯,a1bn,a2b1,⋯,a2bn,⋯,anb1,⋯,anbna1b1,⋯,a1bn,a2b1,⋯,a2bn,⋯,anb1,⋯,anbn\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \end{aligned} a1​b1​,⋯,a1​bn​,a2​b1​,⋯,a2​bn​,⋯,an​b1​,⋯,an​bn​a1​b1​,⋯,a1​bn​,a2​b1​,⋯,a2​bn​,⋯,an​b1​,⋯,an​bn​​

这是顺序和；

第二行的对应是

a1b1,⋯,a1bn,a2b1,⋯,a2bn,⋯,anb1,⋯,anbna1b1,⋯,anb1,a1b2,⋯,anb2,⋯,a1bn,⋯,anbn\begin{aligned} a_1b_1,\cdots,a_1b_n,a_2b_1,\cdots,a_2b_n,\cdots,a_nb_1,\cdots,a_nb_n \\ a_1b_1,\cdots,a_nb_1,a_1b_2,\cdots,a_nb_2,\cdots,a_1b_n,\cdots,a_nb_n \end{aligned} a1​b1​,⋯,a1​bn​,a2​b1​,⋯,a2​bn​,⋯,an​b1​,⋯,an​bn​a1​b1​,⋯,an​b1​,a1​b2​,⋯,an​b2​,⋯,a1​bn​,⋯,an​bn​​

这是乱序和．

由排序不等式可知，

(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)⩾(∑i=1naibi)2\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 (i=1∑n​ai2​)(i=1∑n​bi2​)⩾(i=1∑n​ai​bi​)2

7. 向量的内积

考虑 Rn\mathbb{R}^nRn 中的向量 α=(a1,a2,⋯,an)\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)α=(a1​,a2​,⋯,an​)，β=(b1,b2,⋯,bn)\boldsymbol\beta= (b_1,b_2,\cdots,b_n)β=(b1​,b2​,⋯,bn​)，两个向量的内积定义为点积：

⟨α,β⟩:=∑i=1naibi\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle := \sum_{i=1}^n a_ib_i ⟨α,β⟩:=i=1∑n​ai​bi​

则向量 α\boldsymbol\alphaα 的范数为

∥α∥:=⟨α,α⟩=∑i=1nai2\lVert\boldsymbol\alpha\rVert:=\sqrt{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha\rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} ∥α∥:=⟨α,α⟩​=i=1∑n​ai2​​

则柯西不等式等价于

∣⟨α,β⟩∣⩽∥α∥⋅∥β∥\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert \leqslant \lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert ∣⟨α,β⟩∣⩽∥α∥⋅∥β∥

这就是柯西不等式的向量形式．

柯西不等式的向量形式的证明有很多，有的和前面的方法本质上是一致的．

比如，可以构造

f(t)=⟨α+tβ,α+tβ⟩=∥α∥2+2⟨α,β⟩+∥β∥2⩾0f(t) = \langle\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha+t\boldsymbol\beta\rangle= \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+2\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 \geqslant0 f(t)=⟨α+tβ,α+tβ⟩=∥α∥2+2⟨α,β⟩+∥β∥2⩾0

则 Δ=4⟨α,β⟩2−4∥α∥⋅∥β∥⩽0\Delta=4\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle^2-4\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert\leqslant0Δ=4⟨α,β⟩2−4∥α∥⋅∥β∥⩽0，这个实际上和方法 1 是一样的．

又或者，由

⟨α−β,α−β⟩⩾0\langle\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha-\boldsymbol\beta\rangle \geqslant0 ⟨α−β,α−β⟩⩾0

⟨α,β⟩⩽12(∥α∥2+∥β∥2)\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle \leqslant \frac12\left(\lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2+\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right) ⟨α,β⟩⩽21​(∥α∥2+∥β∥2)

对其进行正规化，可以得到

⟨α,β⟩∥α∥⋅∥β∥=⟨α∥α∥,β∥β∥⟩⩽12(1+1)=1\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert}= \left\langle\frac{\boldsymbol\alpha}{\lVert\boldsymbol\alpha\rVert},\frac{\boldsymbol\beta}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert}\right\rangle \leqslant \frac12\left(1+1\right)=1 ∥α∥⋅∥β∥⟨α,β⟩​=⟨∥α∥α​,∥β∥β​⟩⩽21​(1+1)=1

这个实际上和方法 3 是一样的．

但是很明显，用内积的表述会简洁很多，而且还可以推广到其它内积的定义．

8. 正交化方法

对于柯西不等式的内积形式，除了上面两种证明方法，还有一种完全不同的证明方法．这种证明方法和 Gram-Schmidt 正交化的思想有关．

向量 α\boldsymbol\alphaα 在 β\boldsymbol\betaβ 上的投影为 ⟨α,β⟩⟨β,β⟩β\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta⟨β,β⟩⟨α,β⟩​β，则向量 γ=α−⟨α,β⟩⟨β,β⟩β\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\alpha-\dfrac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\betaγ=α−⟨β,β⟩⟨α,β⟩​β 与向量 β\boldsymbol\betaβ 正交，即 ⟨γ,β⟩=0\langle\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\beta\rangle=0⟨γ,β⟩=0．因此

∥α∥2=∥γ+⟨α,β⟩⟨β,β⟩β∥2=∥γ∥2+∥⟨α,β⟩⟨β,β⟩β∥2=∥γ∥2+∣⟨α,β⟩∣2(∥β∥2)2∥β∥2=∥γ∥2+∣⟨α,β⟩∣2∥β∥2⩾∣⟨α,β⟩∣2∥β∥2\begin{aligned} \lVert\boldsymbol\alpha\rVert^2 &= \left\lVert\boldsymbol\gamma+\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \left\lVert\frac{\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\right\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\left(\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2\right)^2}\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2 \\[1ex] &= \lVert\boldsymbol\gamma\rVert^2 + \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \\[1ex] &\geqslant \frac{\lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert^2}{\lVert\boldsymbol\beta\rVert^2} \end{aligned} ∥α∥2​=∥∥∥∥∥​γ+⟨β,β⟩⟨α,β⟩​β∥∥∥∥∥​2=∥γ∥2+∥∥∥∥∥​⟨β,β⟩⟨α,β⟩​β∥∥∥∥∥​2=∥γ∥2+(∥β∥2)2∣⟨α,β⟩∣2​∥β∥2=∥γ∥2+∥β∥2∣⟨α,β⟩∣2​⩾∥β∥2∣⟨α,β⟩∣2​​

∥α∥⋅∥β∥⩾∣⟨α,β⟩∣\lVert\boldsymbol\alpha\rVert\cdot\lVert\boldsymbol\beta\rVert \geqslant \lvert\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\rvert ∥α∥⋅∥β∥⩾∣⟨α,β⟩∣

等号成立的条件为 γ=0\boldsymbol\gamma=\boldsymbol0γ=0，即 α\boldsymbol\alphaα 与 β\boldsymbol\betaβ 共线．

柯西不等式作为数学中最重要的不等式之一，在很多领域都有应用．在上面这几种证明方法中，个人认为方法 1 是最容易理解的，而方法 3 是最简洁的，而方法 8 则是更一般化．

在给学生讲解的时候，应以方法 1 为主，有条件的话可以讲一下方法 3．

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参考资料：

• 高中数学选修 4-5 《不等式选讲》B 版
• 数学奥林匹克小丛书（高中卷）《平均值不等式与柯西不等式》
• The Cauchy-Schwarz Master Class，作者 J. Michael Steele
• Wikipedia: Cauchy–Schwarz inequality