赌博的最优策略 (II)
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赌博的最优策略 (II)
系列：生活中的数学
在 slashdot 上看到一篇科技新闻，两个数学家（其中一个来自于 MIT ）和一个计算机学家，在 arXiv 上发表了一篇论文《HOW TO GAMBLE IF YOU』RE IN A HURRY》（PDF 版链接），是最近几天很热门的一条新闻。
其实论文的内容很简单，基本上就是我以前一篇博客赌博的最优策略里的内容：
假设有数量为nn 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以pp 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到NN 或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到NN 走人）的概率呢？
然后这篇文章里只考虑离散的情况，即nn 和NN 都是整数，并且每次只能下整数的赌注。在这种情况下问题更简单了。如果不考虑结束的时间的话，赌博的策略如下：
如果p<0.5p<0.5 ，那么每次下注min(n,N−n)min(n,N−n) 。
如果p>0.5p>0.5 ，每次下注 1。
但当p>0.5p>0.5 时，每次下注 1 ，游戏结束的时间太长了。更优的方法是Kelly 判据，即每次押上2p−12p−1 倍的本金。在初始本金 n 为 100 ， N 为 200 ， p 为 3/5 时， Kelly 策略的成功概率为 99.988%，期望结束时间只有 45 轮，而每次下注 1 的期望结束时间是 500 轮。
那上面新闻里的论文做了什么工作呢？事实上，它给出了一个程序，用来计算用什么方式可以最大化在给定期限TT 内赢到NN 走人的概率（还有一些其它乱七八糟但也差不多的东西），即计算以下函数：
好吧，我也没明白这篇文章为何会这么热门，我认为这个程序是一个本科生甚至一个高中生就可以完成的工作，这篇文章也不是严肃的学术性结果。新闻里提到作者之一 Evangelos Georgiadis 是来自 MIT 的数学家。但我在 MIT 上找不到该人的详细信息，深表怀疑他只是 MIT 的一个学生。
Q. E. D.
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