VaR 的相关指标和参数转换

1. 相关指标

1.1. ES （ Expected shortfall ）

VaR 衡量一个投资的收益的分位点，衡量未来在一定概率上的损失情况，但某些时候还不够，比如说卖出一个深度价外期权，它的 VaR 为 0 ，但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险，可以用 ES 来衡量。

简单说来， ES 指位于超出 VaR 的损失的的条件期望。假设 X 为预期收益，则：

除了 ES 外，它还有若干个称呼，比如 Conditional VaR ，平均 VaR （ average value at risk ），尾部风险（ expected tail loss ）。

ES 除了可以衡量其厚尾风险外，还有一个更重要的特征，它具有半可加性，即对于两个组合P1P1 和P2P2 ，

这个特征使得对于一个大范围的风险限制可以分解到子单位上，只需要控制一个公司各个部门的 ES ，即控制了整个公司的 ES。但 VaR 无法做到这一点，更详细的讨论见VaR ：存在问题和应对方法（未完成）。

1.2. VaR 的细分

一个组合由多个小组合或头寸组成，比如一个公司整体资产组合由各个部门的组合构成，一个组合也可以由不同类型的资产组成。其中小组合的风险可以用它本身的 VaR 衡量，但这样就忽略了和组合其它资产的相关性。更好的指标是增量 VaR 和成分 VaR ，用来衡量组合的一部分如何影响整个组合的风险。

首先定义一些符号，一个资产组合在第ii 个头寸上的暴露市值为wiwi ，那么其 VaR 可视为wiwi 的函数：VaR=VaR(w1,w2,⋯,wn)VaR=VaR(w1,w2,⋯,wn) 。

1.2.1. 增量 VaR （ Incremental VaR ）

增量 VaR ，是指当一个头寸加入到组合时，新增的 VaR ，或者说，从原组合删去一个头寸，所减少的 VaR。

增量 VaR 提供了很多信息。如果增量 VaR 小于 0 ，表明新交易降低了风险，即为「对冲交易」。当想知道平掉哪个头寸可以最大限度消除 VaR 值，就从各个头寸的增量 VaR 入手。

但需要注意的是，各个头寸的增量 VaR 之和并不一定等于总 VaR。

1.2.2. 边际 VaR （ Marginal VaR ）

边际 VaR ，是 VaR 对于单个头寸暴露市值的敏感性，亦即

在实际计算中，通常使用

用模拟法计算 VaR 时，边际 VaR 有更简单的方法获得，具体参考下面成分 VaR 的计算方法。

当投资者想减仓固定金额，同时想降低尽量多的风险时，他便可以选取边际 VaR 最大的头寸进行操作。另外，边际 VaR 还是一个中间指标，用来计算下面的成分 VaR。

边际 VaR 与该头寸相对于该组合的 Beta 相关：

1.2.3. 成分 VaR （ Component VaR ）

成分 VaR 等于每个头寸的暴露市值与其边际 VaR （敏感性）的乘积：

由于VaRVaR 是齐次函数，即对于任意kk ，均有

上式两边在k=1k=1 处对kk 求导数，便有

这说明成分 VaR 是组合整体 VaR 的一种分解方式，代表每个头寸对于总风险的贡献值。事实上，这个分解在任何一个层面上成立。比如一个股票的组合，可以分解到各个行业。每个行业上的成分 VaR 将等于行业下各个股票的成分 VaR 之和，而组合总 VaR 又等于各个行业的成分 VaR 之和。在日常风险管理中，通常用成分 VaR 来衡量一个组合中各个头寸的风险。

如果使用边际 VaR 的 beta 的定义，由于组合各持仓的加权 beta 之和等于一，很自然地有成分 VaR 之和等于组合 VaR。

在模拟法中，各个资产的成分 VaR 等于各资产在产生 VaR 值的那个场景的损益，不需要单独计算 VaR 值。同时，边际 VaR 可从成分 VaR 反推。

1.2.4. 不同风险软件中的定义差别

本文所采用的是《Value at Risk ：金融风险管理新标准》里的定义和名称。

Risk Metrics 的 Risk Manager 中的定义和上述不一致。它的 Marginal VaR （ MVaR ）是指上面的增量 VaR ，而 Incremental VaR （ IVaR ）是指上面的成分 VaR ， CVaR 是指上面的 Expected shortfall。

1.3. 相对 VaR （ Relative VaR ）

上面 VaR 针对实际盈亏金额，但对于某些资产组合，它更关心其相对于基准的表现。相对 VaR 即是用来衡量相对于基准的风险，记XX 为组合相对于其基准的超额收益，其分布函数为F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X≤x) ，那么置信水平为pp 的 VaR 为：

这种相对概念同样适用于 ES、增量 VaR 和成分 VaR。

2. 计算不同参数下的 VaR

VaR 有两个主要参数，一个参数为置信水平，另一个为时间区间。在两种情况下需要进行转换，

1. 在已经得到一个 VaR 的情况下，快速估算另一组参数下的 VaR 值；
2. 不同机构公布的 VaR 的参数不一致，如何将其标准化为可互相比较的量。

当然，重新计算是最佳的选择。当计算使用历史模拟法或者蒙特卡洛模拟法，并且保存了过程数据的情况下，重新计算只需要在模拟的收益重新取分位点。U.S. Fedural Reserve 便推荐这种方法。但是，在大多数情况下，重新计算既无必要，也不可能有足够数据（比如上面的第二种情况下，无法重新计算别人的 VaR ）。

2.1. 不同置信水平的转换

常用的 95%和 99%置信水平的 VaR 转换关系为：

该转换方法和参数法计算出来的 VaR 是相容的，都内置假设：预期收益呈正态分布，如果对预期收益做其它假设，比如假设预期收益呈 t 分布，可得到类似的相关性。这类正态分布（或者其它分布）的假设并不总是合理的，特别是对于非线性资产（如期权），对这类资产的组合通常需要重新计算。

2.2. 不同时间区间的转换

我们可以计算日 VaR ，也可以计算周 VaR、10VaR ，月 VaR ，一般来说可以用下面的转换公式：

该公式基于不同周期的波动率的转换关系。但需要注意两点，

1. 该公式同样假设组合未来收益呈正态分布，并不适合非线性资产的情况。
2. 当nn 过大时同样不适用，比如一个股票的日 VaR 大约为本金的 3%，根据上面的公式，当时间区间足够长时， VaR 将比本金还大，这是不可能的。当nn 比较大时，一般使用下面的转换公式：

该转换公式基于连续复合收益率的思想，其中 mtm 为 VaR 对应的市值，ττ 为 VaR 和波动率之间的转换系数（ 95%VaR 对应转换系数 1.6449 ， 99%VaR 对应转换系数 2.3263 ）。

Q. E. D.