从 AB 和 AC 的相关系数推导 BC 的相关系数范围
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从 AB 和 AC 的相关系数推导 BC 的相关系数范围
系列：头脑风暴
一个非常好的面试题。难度适中。
有三个随机变量AA 、BB 、CC ，已知AA 和BB 之间的相关系数为ρρ ，AA 和CC 之间的相关系数也等于ρρ 。问BB 和CC 的相关系数的取值范围。
1. 解答 1 ：
A,B,CA,B,C 之间的协方差矩阵必须是半正定的（反向而言，任何半正定的矩阵都可以作为某个联合正态分布的协方差矩阵）。
假设xx 为BB 和CC 的相关系数，我们事实上只需要解下面的方程即可求解xx 的范围：
这是一个关于xx 的二次方程x2−2p2x+(2p2−1)≤0x2−2p2x+(2p2−1)≤0 ，直接得到x∈[2ρ2−1,1]x∈[2ρ2−1,1] 。
同样的方法还可以解决下面这个题目：已知nn 个随机变量，它们两两之间的相关系数都是ρρ ，求ρρ 的可能取值范围。
2. 解答 2 ：
无妨假设var(A)=1var(A)=1 ，var(B)=1var(B)=1 ，var(C)=1var(C)=1 。此时BB 和CC 可以写成AA 和其它两个与AA 独立的随机变量的线性和：
其中B1,C1B1,C1 都是与AA 独立的方差为 1 的随机变量。显然
3. 解答 3 ：
如果我们将随机变量想象成多维空间里的向量，那么相关系数就是向量之间的夹角的 cos。也就是说AA 和BB 、CC 的夹角都是θ=arccosρθ=arccosρ 。
从空间几何的角度看，BB 和CC 的夹角为[0,2θ][0,2θ] ，所以BB 和CC 的相关系数范围为[cos2θ,cos0]=[2ρ2−1,1][cos2θ,cos0]=[2ρ2−1,1] 。
Q. E. D.
解法一最后二次不等式常数项前边是不是正号？
对的。谢谢提醒。已修正。
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