作者: 张志强

, 发表于 2006-08-16

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系列：理论计算机初步

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下面是 wikipedia 上算法的定义：

算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。也就是说给定初始状态或输入数据，经过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。

算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

一个简单而且耳熟能详的算法的例子是求最大公约数的辗转相除法：给出两个数，要求出他们俩的最大公约数。在小学的时候，我们就知道这样做就行了：将大数除以小数，用所得余数替换大数，继续用这两个数中大者除以小者，用所得余数替换较大者，继续下去，直到所得余数为 0 ，此时除数即为所求的最大公约数。下面是一个实例：(15, 21) = (15, 6) = (3, 6) = (3, 0) = 3。又如，要判断某个数是否为质数，只需枚举所有比它小的数，检验是否其约数即可。

算法是理论计算机的灵魂。几乎所有问题都围绕它而来。为了讨论算法的性质，在理论计算机中，算法已不限于只是上面定义中的计算机程序。或者说，这里计算机的含义被大大扩广了。

我们平时所说和所使用的计算机，基于图灵提出的确定型图灵机模型。它是最好理解的：给出固定的程式，模型按照程式和输入完全确定性地运行。

但为了理解算法和这种确定型图灵机的能力，人们又发展了许多其它各式各样的图灵机模型。其中最为有名的是非确定型图灵机。这种计算模型，它在进行计算的时候，会自动选择最优路径进行计算。通俗地说，它有预测能力。比如说，为了说明某个数是合数，非确定型图灵机会猜测一个数，恰好是其因子，从而证明了它不是质数。

确定型和非确定型图灵机的计算性能所引起的P vs NP问题，一直是理论计算机科学的核心问题，这点下面专文论述。

另一个引起广泛关注的计算机模型是量子计算机模型。与上面的非确定型图灵机只存在于人们的想象中不同，量子计算机在物理上是可以实现的。关于量子计算理论，以后也有单独的介绍性文章。

虽然上面的各种计算模型的效率可能不同，比如非确定性图灵机判定一个数是合数便要快得多，但是它们的计算能力是完全一样的。也就是在某个计算模型上面运行的算法，可以被其余模型模拟实现。

这些计算模型的计算能力是一样的，那是不是世界上所有问题都有算法呢？看上去这似乎是一个哲学问题，但答案早就有了，有些问题是不可能能通过算法求解的，连下面这个看上去很简单的问题都不行：给出一些分数（指 12/23 ， 18/9 这样的），问是否可以从中选出若干个分数数（可以重复选取），使得按一定顺序排起来，其分母连起来和分子连起来恰好一样？

Q. E. D.