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脑力小体操：筹码和底牌，哪个消失得更快？

在往期 股票下车的最佳时间点和扑克游戏 用到了翻红牌或黑牌的模型。

今天继续。

玩家入场，买下若干筹码(就15个筹码吧)。

庄家拿出6张牌(数目小计算简单~)，3红3黑。

现在，玩家每把可以用若干筹码压黑或红。请注意，庄家是在玩家押注之后行动。

庄家可以从牌堆里，特意选择一张红牌或黑牌。但是，每把选过之后，那张牌就进入坟墓。所以庄家手头的牌越选越少。第6把的时候，玩家可以100%地提前押中！

然后，每把若庄家赢，则玩家失去筹码；反之，庄家向玩家支付押注等同的筹码。下一把，玩家可以把赢来的筹码继续压上。玩家输光游戏结束，玩家玩完6局，游戏也结束。玩家只玩5局，决定走人，那是做慈善……从理性人角度，入局的玩家只要还有筹码，就应该完后玩。他的预期收益在后面。

现在问：玩家第1和2把应该各压上多少筹码？以及这个游戏对庄家和玩家，哪个更有利？

稍微解释一下，显然玩家第一把不应该压上太多。用极端法，若他全部压红，则庄家拿出黑牌，直接送出局。

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上一期 用预知替身玩男生女生配？ 姑且不考虑其中超能力的机理，只要知道主人公阿强就是能预知庄家每轮的选择。

当出现连续的二选一选项时，阿强能够以二进制的方式，看到序列的走向。比如说，如果猜硬币正反的话，阿强可以在游戏开始的瞬间，看到一组0/1序列，那就是后面连续的硬币正反结果。所以他的替身名是 choice。

确实，这个能力稍显鸡肋。但是还是让阿强再次振作起来，决定去码头搞点薯条money。赢一笔钱就和阿花私奔到埃及。

附近码头上有家为码头工人和水手开设的赌场，里面有种玩法叫“瘪三”(毕竟男生女生配或黑白配，实在违和)。

桌面上有两个圆圈，一个里面写着“大”，另一个写着“小”。庄家也就是赌场一方，有两个牌子，上面也分别写着大和小。每局开始前，赌场荷官把一个牌子放到一个罩子下，玩家看不到里面。

两个玩家，比如说阿强和阿花，按赌场指定的顺序，把赌注筹码压在“大”或“小”圈里。考虑最坏的情况，我们假定，赌场每轮都要阿花先下注，然后阿强跟着来。最后，赌场掀开罩子，向众人展示牌子。

如果，阿花、阿强和赌场的结果完全一样(就是三家同大或同小)，则赌场输；反之，则阿花和阿强输。

但是现在阿强有了超能力，他可以和阿花制定一套战略，保证自己一方尽可能获利。

比如说最好想的策略，阿强在游戏开始后，看到未来开大小的结果序列是：小小大大大小大小大大大大小大小小大。

他统计出“大”多于“小”，所以在阿花第一轮凭运气下注的之后，阿强可以压“大”——向伙伴传递一个信息：后面大多于小。然后阿花可以每轮都压大，保证胜率大于50%。

问题是阿强年轻气盛，贪多务得。他想要一个9局里，起码赢下6局的对策？赌场当然不是善茬，所以阿花他们在赌局开始后，就不会做出任何授人以柄的小动作，也就是说，完全依赖事先的策略行事，而不会用眼神或肢体偷偷传递额外信息。

朋友们，如果你是阿强的话，你能想出来吗？

该问题来自IBM。上一期可能是#小体操栏里，唯一一次在评论里没有出现可用答案的一期……有朋友指出，9局6胜是很强的条件。

更早它出现在名为RAD挑战赛的网站上——但这个网站早已不在了。

以下是阿强和阿花为了胜利而遵循的规则。

首先，因为第一局超出了阿强和阿花的掌控，除非碰运气，没有必胜的方法。所以我们只考虑最坏的情况。第一局始终“放弃”。则后面8局，阿强要拿下6局。

弃掉第一局，则阿强可以用第一局的自己出牌来传递一个信号：阿花在2-4局里，出他在本轮里的给出的选项。

若无特殊情况，阿强的选择就是后面3局里，庄家至少会出两次的牌(主要牌)。

然后，若2-4局里，庄家的牌不是完全一样，则必然是2:1。这样一来，有一把阿花是错的，故而阿强可以利用本来就弃掉的这一把来传递5-7局里，庄家的主要牌。

就是阿强要利用好弃局里传递信息的机会。

若2-4局里庄家始终选大或小，则阿强可以弃掉第5局，用来传递6-8的庄家主牌。然后在6-8的弃局里(若无弃局，则已经满足6胜)揭示第9局庄家的牌。

现在的规则，仅在以下所有情况同时出现的时候，无法简单地达成6胜：

2-4局和第5-7局都是2:1的情况，且第8局和第9局，庄家的牌不同。

我们把上面称之为例外情况。

我们根据5-7局里，非主牌(就是2大1小里“小”)出现的次序(第5、第6、第7)，分为三种情况讨论。

情况1：例外牌出现在第5局。

此时，阿强应在2-4局里偏离了最开始的简单策略，多放弃一局！

阿花显然可以知道哪一局是阿强故意输掉的(因为阿花和庄家一致，而阿强给出了错误选项)，故而阿强可以利用故意弃掉的一局所在的次序来传递额外的信息。

比如说，阿强和阿花在2-4局里，本来应该拿下第二局和第四局。这样阿强可以选择弃掉第二局或第四局。就是序数小的局或者序数大的局。借此传递第八局的情况。

同时，阿花发现阿强弃掉了必得的一局，就知道出现了例外情况。这同样传递了丰富的信息：如第八局和第九局里，庄家的牌是不一样的。如果第八局庄家出大，则第九局里必然是小！以及，5-7局里哪局是例外——第5局。知道第5局是因为，2-4的弃局规则，本来就是假定：例外牌出现在第5局。

如此一来，阿强在2-4局里弃掉了2局，但是完整拿下了后面5局。至少6胜。

情况2：例外牌出现在第7局。

前面不变，阿强改变5-6局的策略，他故意弃一局。与上面的分析类似。请注意，由于阿花在5-6局时就能意识到这一点，则他们可在第七局获胜，所以他们仍能赢下6局。(2-4 两局，5-7两局，7-8全胜)

情况3：例外牌出现在第6局。

阿强若预知到这一情况，会提前布局！

他在第一局时给出的信号是错的！实际上是2-4局里庄家选择的少数牌。但是阿花在当时不知道，他会按基本约定，在2-4局里出，阿强第一局出的牌。

然后在第四局开始之前，意识到问题所在。进而了解到下述信息：

第5-7局是2:1的情况，且例外牌出在第6局。另外；第8局和第9局，庄家的牌不同。

同时，阿强在2-4局里，用两次弃掉的局，传递的信息分别是5-7局里的主牌情况，以及第8局里庄家的选择！

如此一来，所有情况都被讨论到。阿强和阿花可以赢下至少6局。

实际上，他们还可以13局赢9局，乃至18赢13。不过后面两种的策略就非常、非常复杂了。

IBM向公众征解：当n走向无穷大时，他们能够赢下的局数的占比是多少呢？前面是6/9，9/13,13/18……

讲道理，目前这应该还属于数学上的未解难题。感觉有戏的朋友，不妨一试。如果真的解了出来，肯定能发在大刊上。

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