编程小知识之生成排列

编程小知识之生成排列_tkokof1的专栏-CSDN博客

本文简述了两种生成排列的方法

生成排列的方法不少,一种经典的方法就是采用递归,假设我们需要求解 1 ~ n 的所有排列,那么我们假设已经求解了 1 ~ n - 1 的所有排列,然后对于求解出的每一种排列(1 ~ n - 1 的一种排列),我们将 n 放置于该排列中可能的 n 个空位上,即可完成 1 ~ n 的排列求解.

说的有些抽象,举个实际的例子:

假设我们要求解 1 ~ 3 这三个数字的所有排列,并且我们已经求解出了 1 ~ 2 的所有排列,求解出的排列如下所示:

1 , 2 2 , 1

1,22,1​

其中每个排列都有 3 个空位:

e m p t y   1 , e m p t y   2   e m p t y e m p t y   2 , e m p t y   1   e m p t y

empty​ 1,empty​ 2 empty​empty​ 2,empty​ 1 empty​​

我们将 3 依序填入每个空位即可完成 1 ~ 3 排列的求解:

3 , 1 , 2 1 , 3 , 2 1 , 2 , 3 3 , 2 , 1 2 , 3 , 1 2 , 1 , 3

3​,1,21,3​,21,2,3​3​,2,12,3​,12,1,3​​

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求解排列的另外一种思路,就是给每个可能的排列规定一个大小次序,仍然拿 1 ~ 3 的排列举例,我们可以规定:

1 , 2 , 3 < 1 , 3 , 2 < 2 , 1 , 3 < 2 , 3 , 1 < 3 , 1 , 2 < 3 , 2 , 1

​1,2,3<1,3,2<2,1,3<2,3,1<3,1,2<3,2,1​

即排列 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 最小,排列 3 , 2 , 1 3, 2, 1 3,2,1 最大,扩展到 1 ~ n 的排列来讲,如果给定一个现有排列(初始即为 1 ~ n 的顺序排列: 1 , 2 , 3 , . . . , n 1, 2, 3, ..., n 1,2,3,...,n),我们生成大于该排列的最小排列,依次进行下去便可生成所有排列.

那么如何生成大于该排列的最小排列呢?方法如下:

假设当前给定的排列为 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . a n a_1, a_2, a_3, a_4, ... a_n a1​,a2​,a3​,a4​,...an​

1. 从后( a n a_n an​ 开始)往前查找,找到第一个满足 a i < a i + 1 a_i < a_{i+1} ai​<ai+1​ 的元素
2. 再次从后( a n a_n an​ 开始)往前查找,找到第一个满足 a j > a i a_j > a_i aj​>ai​ 的元素( a i a_i ai​ 为上一步骤的结果元素)
3. 交换 a i a_i ai​ 和 a j a_j aj​
4. 将 a i + 1 a_{i+1} ai+1​ 至 a n a_n an​ 的元素重新排序

(这里我们只给出了过程描述,更多细节大家可以参考相关书籍)

有了算法步骤,我们便可以进行代码实现了,过程中有两点值得一提:

• 如果第 1 步中找不到满足 a i < a i + 1 a_i < a_{i+1} ai​<ai+1​ 的元素怎么办?这种情况会出现在元素逆序的排列中(譬如排列: 3 , 2 , 1 3, 2, 1 3,2,1),处理方法很简单,我们直接跳过 2, 3 步骤,直接执行第 4 步中的排序即可,由于此时元素是逆序的,我们直接反转(reverse)排列元素即可完成排序(排序之后排列又回到了"原点").
• 如果正常进行了 1, 2, 3 这三个步骤,第 4 步中的重新排序操作我们仍然可以通过直接反转(reverse)排列元素来完成:

考虑第 1 步骤的操作,当找到目标元素 a i a_i ai​ 时,我们可知以下元素关系:

a i < a i + 1 > a i + 2 > a i + 3 > . . . > a n a_i < a_{i+1} > a_{i+2} > a_{i+3} > ... > a_n ai​<ai+1​>ai+2​>ai+3​>...>an​

考虑第 2 步骤的操作,当找到目标元素 a j a_j aj​ 时,我们可知以下元素关系:

. . . > a j − 1 > a j > a i > a j + 1 > . . . ... > a_{j-1} > a_j > a_i > a_{j+1} > ... ...>aj−1​>aj​>ai​>aj+1​>...

第 3 步骤我们执行了 a i a_i ai​ 与 a j a_j aj​ 的交换,根据之前的元素关系,我们可知:

a j < a i + 1 > a i + 2 > . . . > a j − 1 > a i > a j + 1 > . . . > a n \boxed{a_j} < a_{i+1} > a_{i+2} > ... > a_{j-1} > \boxed{a_i} > a_{j+1} > ... > a_n aj​​<ai+1​>ai+2​>...>aj−1​>ai​​>aj+1​>...>an​

所以 a i + 1 a_{i+1} ai+1​ 至 a n a_n an​ 间的元素在 1, 2, 3 步骤之后仍然是逆序关系,自然我们就可以通过直接反转(reverse)这些元素来对它们进行排序了,最终的示例代码如下:

// C#
public static List<int> NextPermutation(List<int> curPermutation)
{
    var swapIndex = -1;

    var index = curPermutation.Count - 2;
    while (index >= 0)
    {
        if (curPermutation[index] < curPermutation[index + 1])
        {
            swapIndex = index;
            break;
        }
        --index;
    }

    if (swapIndex >= 0)
    {
        // valid swap index, swap with the rest smallest big number
        var swapElement = curPermutation[swapIndex];
        var smallIndex = swapIndex + 1;
        for (int i = curPermutation.Count - 1; i >= swapIndex + 2; --i)
        {
            if (curPermutation[i] > swapElement)
            {
                smallIndex = i;
                break;
            }
        }

        // do swap
        curPermutation[swapIndex] = curPermutation[smallIndex];
        curPermutation[smallIndex] = swapElement;
    }

    // do sort
    var startIndex = swapIndex + 1;
    var endIndex = curPermutation.Count - 1;
    while (endIndex > startIndex)
    {
        var temp = curPermutation[startIndex];
        curPermutation[startIndex] = curPermutation[endIndex];
        curPermutation[endIndex] = temp;
        ++startIndex;
        --endIndex;
    }

    return curPermutation;
}