扩展欧几里得算法的简单实现

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(辗转相除法)的扩展,欧几里得算法可以用于求解两个自然数(记为 a a a 和 b b b)的最大公约数,而扩展欧几里得算法不仅可以求出 a a a 和 b b b 的最大公约数,还能同时计算出两个整数 x x x 和 y y y, 使它们满足等式(等式中的 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b) 即表示 a a a 和 b b b 的最大公约数):

a x + b y = g c d ( a , b ) ax + by = gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)

说到算法步骤的话,扩展欧几里得算法其实是逆向运用了欧几里得算法(辗转相除法)的中间结果,有兴趣的朋友可以看看 wiki 上的计算案例,在此我们简单推导一下用于计算 x x x 和 y y y 的递推公式,以方便我们编写代码:

首先是基础条件( b = 0 b = 0 b=0 的情况)

g c d ( a , 0 ) = a a ∗ 1 + 0 ∗ a n y = g c d ( a , 0 ) = a = > { x = 1 y = 0

当 b = 0 b = 0 b=0 的情况下,我们取 g c d ( a , 0 ) = a gcd(a, 0) = a gcd(a,0)=a, 此时 x = 1 x = 1 x=1, y y y 为任意值 都可满足之前的等式,简单起见,我们取 x = 1 , y = 0 x = 1, y = 0 x=1,y=0.

现在我们知道基础条件下 x x x 和 y y y 的取值了,我们看看如何递推求解下一步的 x x x 和 y y y:

a x + b y = g c d ( a , b ) b x ′ + ( a % b ) y ′ = g c d ( b , a % b ) ∵ g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) ∴ a x + b y = b x ′ + ( a % b ) y ′ = b x ′ + ( a − ⌊ a / b ⌋ b ) y ′ = a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′ ) = > { x = y ′ y = x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′

以上便是 x x x 和 y y y 的递推公式了,有了递推公式,代码就一目了然了(Lua):

-- return { r, x, y }
function gcd_ex(a, b)
    if b == 0 then
        -- base condition
        return { r = a, x = 1, y = 0 }
     else
         -- recursion operation
         local ret = gcd_ex(b, a % b)
         local t = ret.x
         ret.x = ret.y
         ret.y = t - a // b * ret.y
         return ret
     end
end

借助之前的辅助代码,我们就可以简单做测试了:

-- SimplePrintToString is from the previous post
function dump(tbl, depth)
    return SimplePrintToString(tbl, depth)
end

print(dump(gcd_ex(47, 30)))