计算机是如何存储小数的？在C语言编程中，应该注意什么？

浮点型在内存中的存储分布方式因机器平台而异，完全理解所有机器平台中的浮点型存储无疑是一件相当麻烦的事。幸运的是，大多机器平台都遵守 IEEE-754 标准，很可能读者和我使用的平台正是使用的 IEEE-754 标准。

IEEE-754是如何存储浮点数的？

IEEE-754浮点（32位）或双精度（64位）有三个部分（在IEEE-854下也有类似的96位扩展精度格式）：符号位，表示数字是正的还是负的；指数位；以及指定实际数字的尾数位。以C语言中的单精度浮点数为例，下面是某位浮点数的位布局：

该浮点数的值等于尾数乘以 2^x。读者应该注意，上图是二进制分数，因此 0.1表示 1/2。为了方便理解，我们可以将其与十进制的小数对应起来：十进制的 0.1 等于 1*10^-1，所以二进制的 0.1 等于1*2^-1，也即 1/2。

“尾数+指数”模式存储浮点数可能有一点问题，例如：2x10^-1=0.2x10^0=0.02x10^1，依此类推。同样一个数字可能有多种“尾数+指数”的表示方法，而同时兼顾多种表示方法势必会造成巨大的浪费（也可能使在硬件中实现数学操作变得困难和缓慢）。

所以，“尾数+指数”的存储模式需要一个统一的标准。事实上，IEEE-754 确实已经有标准了：假设给定一个二进制的浮点数，那么除非这个数是 0，否则总有某个位是 1。将小数点移到第一个 1 之后，调整指数位，这样一来，“尾数+指数”的唯一存储方式就固定下来了，也即“1.m x 2^n”形式。

既然小数点前总是 1，那么上述标准下的“尾数+指数”的存储模式甚至都不需要再花费空间存储小数点前的 1.

但是如果数字是零呢？IEEE Standards Committee 通过将零作为一种特殊情况来解决这一问题：如果数字的每一位都为零，那么数字就被认为是零。

现在读者可能又有疑问了，因为 1.0 =1.0x2^0，上述存储模式不存储小数点前的 1，也即尾数和指数部分都为 0，而“如果数字的每一位都为零，那么数字就被认为是零”，这样看来，1.0 似乎是没有办法存储的。

当然可以存储 1.0。单精度浮点数的指数部分是“shift-127”编码的，也即实际的指数等于 eeeeee 减去 127，所以 1.0 的表示方法实际上是 1.0x2^127。同样的道理，最小值本应该是 2^-127，按照“shift-127”编码指数部分，也即 2^0，可是这样又变成“指数部分和尾数部分都为零”了，因此在该标准下的最小值，实际上的写法是 2^1，也即 2^-126。

在我看来，为了表示 0 和 1，舍弃最小值（2^-127）是非常可取的做法。

零不是唯一的“特殊情况”。对于正无穷大和负无穷大，非数字（NaN），以及没有数学意义的结果（例如，非实数，或无穷大乘以零之类的计算结果）也有表示：如果指数的每一位都等于1，那么这个数字是无穷大，如果指数的每一位都等于1，并且尾数位也都等于1，那么这个数字就是NaN。符号位仍然区分+/-inf和+/-nan。

现在，读者应该明白IEEE-754浮点数的表示方法了，下面是几个数字的表示方法：

作为程序员，了解浮点表示的某些特性是很重要的，下标列出了单精度和双精度IEEE浮点数的示例值：

在C语言程序开发中，数值的处理是一门值得深究的科学。本文不可能将复杂的数值算法以及相关的C语言程序开发经验一一列出。事实上，讨论如何以理想的数值精度进行计算，就和讨论如何编写最快的C语言程序，如何设计一款优秀的软件一样，主要取决于程序员本身的综合素质。

鉴于此，这里将尝试介绍一些基础的，我认为每个C语言程序员都应该知道的内容。

首先，我们应该明白C语言程序开发中的两个浮点数何时相等。可能读者并不觉得难，因为似乎C语言中的 == 运算符就能判断两个浮点数是否完全相等。

然而实际上，C语言中的 == 运算符是逐位比较两个操作数的，而两个浮点数的精度总是有限的，在这种场景下，== 运算符的实际使用意义就没有那么大了。

读者应该已经明白，计算机存储浮点数时，很有可能是需要舍弃一些位的（如果该浮点数过长），如果 CPU 或者相应的程序没有按照预期四舍五入，那么使用 == 运算符判断两个浮点数是否相等可能会失败。

例如，标准C语言函数库三角函数 cos() 的实现其实只是一种多项式近似，也就是说，我们并不能指望 cos(π/2) 结果的每一个位都为零。在C语言程序开发中，我们甚至不能准确的表示 π。

看到这里，读者应该思考“相等到底是什么意思呢？”，对于大多数情况来说，两个数“相等”意味着这两个数“足够接近”。本着这种精神，在实际的C语言程序开发中，程序员通常定义一个很小的值模拟“足够接近”，并以此判断两个浮点数是否“足够接近到相等”，例如：

#define EPSILON 1.0e-7
#define flt_equals(a, b) (fabs((a)-(b)) < EPSILON)

宏 flt_equals(a, b) 正是通过判断 a 和 b 的距离是否小于 EPSILON（10的-7次方），来断定 a 和 b 是否可以被认为“相等”的。这样的近似模拟技术有时候是有用的，有时候却可能导致错误结果，读者应该自行判断它是否符合自己的程序。

在本例中，EPSILON 可以看作是一种用于说明程序精度的标尺。应该明白，衡量精度的应该是有效数字，纠结 EPSILON 的具体大小并无意义，下面是一个例子。

假设在某段C语言程序中有两个数字 1.25e-20 和 2.25e-20，它俩的差值是 1e-20，远小于 EPSILON，但是显然它俩并不相等。但是如果这两个数字是 1.2500000e-20和1.2500001e-20，那么就可以认为它们是相等的。也就是说，两个数字距离足够接近时，我们还需要关注需要匹配多少有效数字。

计算机存储空间总是有限的，因此数值溢出是C语言程序员最关心的问题之一。读者应该已经知道，如果向C语言中的最大无符号整数加一，该整数将归零，令人崩溃的是，我们并不能只通过看这个数字的方式获知是否有溢出发生，归零的整数看起来和标准零一模一样。

当溢出发生时，实际上大多数 CPU 是会设置一个标志位的，如果读者懂得汇编，可以通过检查该标志位获知是否有溢出发生。

float 浮点数溢出时，我们可以方便的使用 +/- inf（无穷）。+inf（正无穷）大于任何数字，-inf（负无穷）小于任何数字，inf+1 等于 inf ，依此类推。因此在C语言程序开发中，一个小技巧是，将整数转换为浮点数，这样就方便判断后续处理是否会造成溢出了。处理完毕后，再将该数转换回整数即可。

不过，将整数转换为浮点数判断是否溢出也是要付出代价的，因为浮点数可能没有足够的精度来保存整个整数。32 位的整数可以表示任何 9 位十进制数，但是 32 位的浮点数最多只能表示 7 位的十进制数。所以，如果将一个很大的整数转换为浮点数，可能不会得到期望的结果。

此外，在C语言程序开发中，int 与 float 之间的数值类型转换，包括 float 与 double 之间的数值类型转换，实际上是会带来一定的性能开销的。

读者应该明白，在C语言程序开发中，不管是否使用整数，都应该小心避免数值溢出的发生，不仅仅是最开始和最终结果数值可能溢出，在一些计算的中间过程，可能会产生一些更大的值。一个经典的例子是“C语言数字配方”计算复数的幅度问题，极可能造成数值溢出的C语言实现是下面这样的：

double magnitude(double re, double im)
{
    return sqrt(re*re + im*im);
}

假设该复数的实部 re 和虚部 im 都等于 1e200，那么它们的幅度约为 1.414e200，这的确在双精度的允许范围内。但是，上述C语言代码的中间过程将产生 1e200 的平方值，也即 1e400，这超出了 inf 的范围，此时上面的实现函数计算的平方根将仍然是无穷大。

因此，magnitude() 函数的更佳C语言实现如下：

double magnitude(double re, double im)
{
    double r;

    re = fabs(re);
    im = fabs(im);
    if (re > im) {
        r = im/re;
        return re*sqrt(1.0+r*r);
    }
    if (im == 0.0)
        return 0.0;
    r = re/im;
    return im*sqrt(1.0+r*r);
}

应该明白，上述C语言代码为了避免数值溢出，给出的实现实际上是一种近似。例如 im 等于 1e200，re 等于 1，那么 im/re 的平方仍然能够达到 1e400，这会造成数值溢出。但是平方 re/im 却是可以的，因为 1e-400 会被四舍五入到零，足够接近得到正确的答案。

有效数字丢失

上面讨论的浮点数精度，以及相等问题只是C语言程序数值运算中的冰山一角。“有效数字丢失”指的是一类情况，在这种情况下，程序员很可能丢失数值的准确性。

前面我们提到，1.m 的尾数形式确保小数点前总是 1（非零时），既然如此，我们没有必要再花费一个位的空间用于存储 1。此时，即使尾数只有最后一位为 1，其他位都为 0，那么它的有效数字也是全部的，因为最前方有个“隐藏的 1”。但是，如果两个比较接近的浮点数相减，这个“隐藏的1”就会被抵消，最终得到的答案可能只剩下一位有效数字的精度。

幸运的是，就像上面求复数幅度避免出现数值溢出一样，避免两个接近的数字相减出现精度损失的方法也是有的，但是并没有一个通用的方法。这里给出一个简单的实例就是使用 1/x 的函数代替 x 的函数，这对于处理二次运算很有效。我的建议是，如果读者发现自己的C语言程序给出了令人怀疑的数值，就应该检查一下相应的减法运算了。

看到这里，相信读者应该想到C语言程序中的加法可能也有同样的问题：假设有数字 1.0，现在将其与 1e-20 相加。程序很可能认为 1e-20 很小，小于 EPSILON，于是忽略它，得到答案 1.0。这实际上也是一种精度损失。

要完全规避C语言程序中的浮点数可能带来的问题，工作量无疑是巨大的。为了简化问题，我们通常认为浮点数带来的精度问题是这样的：对浮点数的操作越多，损失的精度也会越多。

正如前文举的例子 cos(π/2)，C语言它的实现实际上是一种近似，得到的答案并不是 0，而是 6.12303E-17。不过就这个答案本身而言，它已经足够小，认为等于 0 也没什么大问题。但是如果我们下一步计算是除以 1e-17，那么得到的答案就约是 6 了，这与预期的零相差甚远。

不要忘记整数

最后，在C语言程序开发中，并不是只有浮点数才重要的，整数同样重要，它的精确性是一个有用的工具。有时程序需要跟踪变化的分数（例如比例因子）。在这种情况下，既然浮点数受各种因素影响，那么我们完全可以将该分数存储为整数分子和分母来避免问题。在需要使用浮点数时，随时再做一次除法运算就可以了。