区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519
source link: https://learnblockchain.cn/article/1641
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.
本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519，Curve25519得到广泛使用，其自身的长处简单说明，没有展开
写在前面
上一节说了扭曲爱德华曲线，扭曲爱德华曲线是EdDSA（爱德华曲线数字签名）体制的核心。
本节说下蒙哥马利曲线和Curve25519, 为什么说它呢？因为它与Ed25519签名相关联。
蒙哥马利曲线
蒙哥马利曲线（Montgomery curve）是另一种形式的椭圆曲线，方程如下：
其中系数A, B ∈ 有限域K，且B($A^2$ − 4) ≠ 0.
下图是在实数域上方程 的曲线
点加法规则
前面我们说了Weierstrass曲线上两点相加的几何意义，是通过两点连接一条直线，与曲线相交第三个点关于x轴的对称点就是所求的和, 蒙哥马利曲线也是这样定义两点求和算法： 已知 ）$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$两点和之和$P_3(x_3,y_3)$
这个计算结果容易得到，令通过点$P_1$，$P_2$的直线为y = lx + m, 可得:
代入蒙哥马利曲线方程，
该方程有三个解$x_1$，$x_2$,$x_3$ ,$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ = 0, 根据维达（Vieta）定理或者直接比较系数，得到：
从而得到：
代入直线公式，即得到$y_3$坐标，注意最后是关于x轴的对称点。
如何两个点相同即2P求法稍微有些不同。主要是直线斜率计算变成了点切线问题，斜率l:
可算得
使用新斜率l代入前面$x_3,y_3$公式，可得到：
接下来说下蒙哥马利曲线广泛应用的实例Curve25519。
Curve25519
Curve25519是蒙哥马利曲线形式的一个实例， 声称是最快的Diffie-Hellman密钥交换函数，由Daniel J. Bernstein教授在2005年设计，提供128比特位安全性，并未被任何已知专利所涵盖。方程为： 
素数域$p = 2^{255}-19 $, 也是名字中25519的由来。 基点横坐标 x = 9， 群秩为$ 2^{255}+27742317777372352535851937790883648493$，
Curve25519的构造避免了许多潜在的实现方面陷阱，它不受计时攻击，能接受任何32字节字符串作为有效公钥(实际工程应用中，0除外)，并且不需要验证给定点是否属于曲线，或者是否由基点生成。
2013年斯诺登事件以后，得到大量关注和使用，目前应用已经非常广泛，包括ssh, tls,OpenSSL,Libsodium等，实际成为NIST P-256椭圆曲线算法的替代品（前者被广泛质疑有后门（back door））.
关于Curve25519，先说到这，以后有用到再说。
小结
本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519，Curve25519得到广泛使用，其自身的长处简单说明，没有展开,感兴趣的话以后可以再说明，本文参考
https://eprint.iacr.org/2017/293.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Curve25519
最近几篇的思路是： 爱德华曲线--> 扭曲爱德华曲线--> 蒙哥马利曲线（Curve25519）--> Ed25519签名
好了，下一篇继续介绍区块链中正在使用的Ed25519签名算法！
欢迎关注公众号：blocksight
相关阅读：
写在前面
上一节说了扭曲爱德华曲线，扭曲爱德华曲线是EdDSA（爱德华曲线数字签名）体制的核心。
本节说下蒙哥马利曲线和Curve25519, 为什么说它呢？因为它与Ed25519签名相关联。
蒙哥马利曲线
蒙哥马利曲线（Montgomery curve）是另一种形式的椭圆曲线，方程如下：
其中系数A, B ∈ 有限域K，且B($A^2$ − 4) ≠ 0.
下图是在实数域上方程 的曲线
点加法规则
前面我们说了Weierstrass曲线上两点相加的几何意义，是通过两点连接一条直线，与曲线相交第三个点关于x轴的对称点就是所求的和, 蒙哥马利曲线也是这样定义两点求和算法： 已知 ）$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$两点和之和$P_3(x_3,y_3)$
这个计算结果容易得到，令通过点$P_1$，$P_2$的直线为y = lx + m, 可得:
代入蒙哥马利曲线方程，
该方程有三个解$x_1$，$x_2$,$x_3$ ,$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ = 0, 根据维达（Vieta）定理或者直接比较系数，得到：
从而得到：
代入直线公式，即得到$y_3$坐标，注意最后是关于x轴的对称点。
如何两个点相同即2P求法稍微有些不同。主要是直线斜率计算变成了点切线问题，斜率l:
可算得
使用新斜率l代入前面$x_3,y_3$公式，可得到：
接下来说下蒙哥马利曲线广泛应用的实例Curve25519。
Curve25519
Curve25519是蒙哥马利曲线形式的一个实例， 声称是最快的Diffie-Hellman密钥交换函数，由Daniel J. Bernstein教授在2005年设计，提供128比特位安全性，并未被任何已知专利所涵盖。方程为：
素数域$p = 2^{255}-19 $, 也是名字中25519的由来。 基点横坐标 x = 9， 群秩为$ 2^{255}+27742317777372352535851937790883648493$，
Curve25519的构造避免了许多潜在的实现方面陷阱，它不受计时攻击，能接受任何32字节字符串作为有效公钥(实际工程应用中，0除外)，并且不需要验证给定点是否属于曲线，或者是否由基点生成。
2013年斯诺登事件以后，得到大量关注和使用，目前应用已经非常广泛，包括ssh, tls,OpenSSL,Libsodium等，实际成为NIST P-256椭圆曲线算法的替代品（前者被广泛质疑有后门（back door））.
关于Curve25519，先说到这，以后有用到再说。
小结
本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519，Curve25519得到广泛使用，其自身的长处简单说明，没有展开,感兴趣的话以后可以再说明，本文参考
https://eprint.iacr.org/2017/293.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Curve25519
最近几篇的思路是： 爱德华曲线--> 扭曲爱德华曲线--> 蒙哥马利曲线（Curve25519）--> Ed25519签名
好了，下一篇继续介绍区块链中正在使用的Ed25519签名算法！
欢迎关注公众号：blocksight
相关阅读：
本文参与登链社区写作激励计划 ，好文好收益，欢迎正在阅读的你也加入。
- 发表于 19小时前
- 阅读 ( 4 )
- 学分 ( 0 )
- 分类：入门/理论
Recommend
About Joyk
Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK