「面向 offer 学算法」笔面试大杀器 -- 单调栈

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前言

单调栈是一种比较 简单 的数据结构。虽然简单，但在某些题目中能发挥很好的作用。

最近很多 大厂的笔试、面试中 都出现了单调栈的题目，而还有不少小伙伴连单调栈是什么都不了解，因此老汪专门写了这篇文章，希望对你们有所帮助。

老规矩，先上一道题给大家看看单调栈能解决什么样的问题，这题是 2020 年猿辅导（K12 教育的 独角兽 ，研发岗白菜价 40W 起步， 不加班高福利 ，想要内推的可以私信老汪）的一道面试题。

给定一个二叉搜索树，并给出他的前序序列，要求输出中序序列，时间复杂度O(n)，并给出证明。

单调栈

• 是什么：单调栈是一种 具有单调性的栈 ，任何时刻 从栈顶到栈底 的元素都是 单调增/减 的。

• 干什么：

  • 单调栈可以找到从 左/右 遍历 第一个 比它 大/小 的元素的位置。
  • 单调栈也可以将某个元素 左/右 边所有比它 小/大 的元素按 升/降序 输出。
• 怎么做：使用栈结构，在入栈的时候保持 id 和 val 的单调性即可。

翻译成大白话，凡是遇到题目中 直接或间接 要求 查找某个元素左/右边第一个大于/小于它的元素 ，或者要求 将某个元素左/右边所有小/大于它的元素按升/降序输出 ，就可以使用单调栈来解决。

具体怎么做你可能还有些迷糊，下面我们直接通过做题来加深对单调栈的理解。 十分钟包教包会，当天就可以和面试官对线。

初入茅庐

给定数组 a，要求输出这样的数组 b，b[i] 是 a[i] 左边第一个比 b[i] 大的元素，若不存在则 b[i] = a[i]。

最暴力的解法，就是对每一个 a[i]，遍历其左边的所有元素，这样所需的时间复杂度是 O(n^2)。如果使用单调栈，时间复杂度可以优化到 O(n)。

这是 最基本、最直白 的单调栈问题， 所有 单调栈问题都是在该问题上进行 延伸、变种 得来的，掌握了这个问题的解决方法，所有单调栈的问题都能 迎刃而解 。

由于本问题过于简单、直白，就不多做讲解，直接上代码：

public int[] solve(int[] a){
  if(a == null) return null; //容错处理，越是简单的题越要注意细节
  int n = a.length;
  int[] b = new int[n];
  Stack<Integer> stack = new Stack(); //单调栈当然要用栈结构啦
  for(int i = 0; i < n; i++){
    while(!stack.isEmpty() && stack.peek() < a[i]) stack.pop(); //所有比 a[i] 小的元素都出栈，保证了从栈顶到栈底元素是单调增的，并且栈顶的元素是 a[i] 左边第一个比 a[i] 大的元素
    if(stack.isEmpty()) stack.push(a[i]);
    b[i] = stack.peek();
  }
  return b;
}

这代码也是单调栈问题的 基本结构 ，所有单调栈问题的代码都基于此进行变种、扩展。小伙伴们可以多花两分钟好好消化上面的代码。

考虑到有些小伙伴不用 Java，老汪把上述代码抽象成伪代码，这也是 单调栈的基本结构 。

背诵 + 套用，即可解决所有单调栈问题。

函数 solve (数组 a):
    新建数组 b;
    新建栈 stack;
    For i From 0 To n - 1:
        While 栈非空 且 栈顶元素 < a[i]：
            出栈;
        End While
        If 栈空 Then:
            a[i] 入栈;
        End If
        b[i] = 栈顶元素;
    End For
    return b;

小试牛刀

单调栈的最基本使用方式我们已经了解了，下面一起来解决文章开头提到的面试题。

给定一个二叉搜索树，并给出他的前序序列，要求输出中序序列，时间复杂度O(n)，并给出证明。

最暴力的方法就是对前序序列进行排序，时间复杂度为 O(nlogn)，使用单调栈可以优化到 O(n)。

思路分析：

对于二叉搜索树而言，给定其根节点 a[i]，左子树里所有元素都比 a[i] 小，右子树里所有元素都比 a[i] 大。

回顾一下遍历顺序：

前序序列，先遍历根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树；

中序序列，先遍历左子树，再遍历根节点，最后遍历右子树。

即，对于元素 a[i]，以它为根节点的子树，

前序序列为， a[i] , a[i] 的左子树序列 , a[i] 的右子树序列

后序序列为， a[i] 的左子树序列 , a[i] ， a[i] 的右子树序列

因此，当我们遍历前序序列，遇到右子树的第一个元素 a[j] 时，其左边所有元素都小于 a[j] ， 将其左边所有元素按升序输出，即可得到 a[i] 和 a[i] 的左子树 的后序序列。

对于右子树再以上述步骤迭代，即可得到完整的后序序列。

显然，这是单调栈的第二种用法：单调栈可以将某个元素左边所有比它小的元素按升序输出。

下面直接上代码：

public int[] solve(int[] pre){
  if(pre == null) return null; //注意容错细节
  int n = pre.length;
  int[] infix = new int[n]; //中序序列
  Stack<Integer> stack = new Stack();
  int index = 0; // 指示中序序列的当前下标
  for(int i = 0; i < n; i++){
    while(!stack.isEmpty() && stack.peek() < pre[i]) infix[index++] = stack.pop(); //由于栈中元素是从栈顶到栈底单调增的，所以可以保证输出序列是单调增的
    stack.push(pre[i]);
  }
  while(!stack.isEmpty()) infix[index++] = stack.pop();
  return infix;
}

打怪升级

再来看一道题，这道题是 2020 年 9 月 6 日字节笔试的第二题。难度对标 leetcode 的 medium 级别。

给定一个长为 n 的序列 a。L[i] 表示第 i 个位置左边第一个大于 a[i] 的数的下标（从 1 开始），没有的话为 L[i] = 0。R[i] 表示第 i 个位置右边第一个大于 a[i] 的数的下标（从 1 开始），没有的话为 R[i] = 0。求 $max_{i = 1}^{n}L[i]·R[i]$。

思路分析：一看题目，就是单调栈的第一种用法。使用两次单调栈分别得到 L[i] 和 R[i]，再遍历一遍即可。时间复杂度为 O(n)。

代码如下：

public int solve(int[] a){
  if(a == null) throw new RuntimeException("输入有误！"); //细节，一定要细
  int n = a.length;
  int[] L = new int[n], R = new int[n];
  // 这里分两次 for 循环来写，熟练的话可以放在同一个 for 循环里。
  Stack<Pair> stack = new Stack();
  for(int i = 0; i < n; i++){
    while(!stack.isEmpty() && stack.peek().val < a[i]) stack.pop();
    L[i] = stack.isEmpty() ? 0 : stack.peek().id + 1; //注意题目要求下标是从 1 开始的
    stack.push(new Pair(i, a[i]));
  }
  stack.clear();
  for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
    while(!stack.isEmpty() && stack.peek().val < a[i]) stack.pop();
    R[i] = stack.isEmpty() ? 0 : stack.peek().id + 1; //注意题目要求下标是从 1 开始的
    stack.push(new Pair(i, a[i]));
  }
  // L[i] 和 R[i] 计算完毕，下面遍历一遍得到最大值即可
  int ans = 0;
  for(int i = 0; i < n; i++) ans = Math.max(ans, L[i] * R[i]);
  return ans;
}

class Pair{
  int id; // 下标
  int val;
  public Pair(int id, int val){
    this.id = id;
    this.val = val;
  }
}

出师试炼

关卡 1

你可以假定该序列中的数都是不相同的。

关卡 2

给定一个以字符串表示的非负整数 num ，移除这个数中的 k 位数字，使得剩下的数字最小。

关卡 3

PS：在公众号【往西汪】后台回复关键字【单调栈】，即可获得上述关卡的过关秘籍（代码实现）。

本期 单调栈问题 就分享到这，下一期你想看什么内容呢？单调队列？前缀和思想？还是老汪独家刷题秘籍？又或者有其他想看的，也可以在下方评论区告诉老汪。

我是往西汪，致力于面向 offer 分享算法知识，希望你早日收获心仪 offer。我们下期再见。