没有除法的除法——LeetCode第29题

7月初的时候挑战了一下LeetCode的 第29题 （中等难度，似乎没什么值得夸耀的），题目要求在不使用除、乘，以及模运算的情况下，实现整数相除的函数。

既然被除数和除数都是整数，那么用减法就可以实现除除法了（多么naive的想法）。一个trivial的、用JavaScript编写的函数可以是下面这样的（为了简单起见，只考虑两个参数皆为正整数的情况）

function divide(n, m) {
  let acc = 0;
  while (n >= m) {
    n -= m;
    acc += 1;
  }
  return acc;
}

如此朴素的 divide 函数提交给LeetCode是不会被接受的的——它会在像2147483648除以2这样的测试用例上超时。可以在本地运行一下感受下究竟有多慢

➜  nodejs time node divide.js
2147483648/2=1073741824
node divide.js  1.14s user 0.01s system 99% cpu 1.161 total

那么有没有更快的计算两个整数的商的算法呢？答案当然是肯定的。

尝试优化

一眼就可以看出，运行次数最多的是其中的 while 循环。以2147483648除以2为例， while 循环中的语句要被执行1073741824次。为了提升运行速度，必须减少循环的次数。

既然每次从 n 中减去 m 需要执行 n/m 次，那么如果改为每次从中减去 2m ，不就只需要执行 (n/m)/2 次了么？循环的次数一下子就减少了一半，想想都觉得兴奋啊。每次减 2m ，并且自增2的算法的代码及其运行效果如下

➜  nodejs cat divide2.js
function divide(n, m) {
  let acc = 0;
  let m2 = m << 1; // 因为题目要求不能用乘法，所以用左移来代替乘以2。
  while (n >= m2) {
    n -= m2;
    acc += 2;
  }
  while (n >= m) {
    n -= m;
    acc += 1;
  }
  return acc;
}

console.log(`2147483648/2=${divide(2147483648, 2)}`);
➜  nodejs time node divide2.js
2147483648/2=1073741824
node divide2.js  2.65s user 0.01s system 99% cpu 2.674 total

尽管耗时不降反升，令场面一度十分尴尬，但根据理论分析可知，第一个循环的运行次数仅为原来的一半，而第二个循环的运行次数最多为1次，可以知道这个优化的方向是没问题的。

如果计算 m2 的时候左移的次数为2，那么 acc 的自增步长需要相应地调整为4，第一个循环的次数将大幅下降至268435456，第二个循环的次数不会超过4；如果左移次数为3，那么 acc 的步长增至8，第一个循环的次数降至134217728，第二个循环的次数不会超过8。

显然，左移不能无限地进行下去，因为 m2 的值早晚会超过 n 。很容易算出左移次数的一个上限为

对数符号意味着即便对于很大的 n 和很小的 m ，上述公式的结果也不会很大，因此可以显著地提升整数除法的计算效率。

在开始写代码前，让我先来简单地证明一下这个方法算出来的商与直接计算 n/m 是相等的。

一个简单的证明

记被减数为 n ，减数为 m 。显然，存在一个正整数 N ，使得

令

，再令

，那么 n 除以 m 等价于

证明完毕。

从上面的公式还可以知道，新算法将原本规模为 n 的问题转换为了一个规模为 r 的相同问题，这意味着可以用递归的方式来优雅地编写最终的代码。

完整的代码

最终的 divide 函数的代码如下

function divide(n, m) {
  if (n < m) {
    return 0;
  }

  let n2 = n;
  let N = 0;
  // 用右移代替左移，避免溢出。
  while ((n2 >> 1) > m) {
    N += 1;
    n2 = n2 >> 1;
  }

  // `power`表示公式中2的N次幂
  // `product`代表`power`与被除数`m`的乘积
  let power = 1;
  let product = m;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    power = power << 1;
    product = product << 1;
  }
  return power + divide(n - product, m);
}

这个可比最开始的 divide 要快得多了，有图有真相

➜  nodejs time node divide3.js
2147483648/2=1073741824
node divide3.js  0.03s user 0.01s system 95% cpu 0.044 total

后记

如果以 T(n, m) 表示被除数为 n ，除数为 m 时的算法时间复杂度，那么它的递推公式可以写成下列的形式

但这玩意儿看起来并不能用主定理直接求出解析式，所以很遗憾，我也不知道这个算法的时间复杂度究竟如何——尽管我猜测就是 N 的计算公式。

如果有哪位好心的读者朋友知道的话，还望不吝赐教。