看得懂的数学之美：从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

欧拉，历史上最重要的数学家之一，也是最高产的数学家，平均每年能写八百多页论文。我们经常能见到以他名字命名的公式与定理，可能最广为人知的便是「世界上最美的公式」欧拉公式。

先不说它的具体意义，能将自然数、虚数、π、0 和 1 这几个最基本的元素组合在一起，就是令人惊叹的美。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为「数学中的天桥」。

这样的数学方程是极具美感的，而要构建这样的方程，整个思考与推导过程同样是非常优美的。数学最吸引人的地方，就在于这一步步推导的过程，一种拨开云雾见月明的感觉。

在本文中，我们希望通过一步步重现欧拉解巴塞尔问题的过程，体会到这种数学之美。

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在 1644 年提出，由欧拉在 1735 年解决。由于这个问题难倒了以前许多数学家，欧拉一解出这个问题马上就出名了，当时他二十八岁。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，为了纪念它是欧拉和伯努利家族的家乡。

文章将解释欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的，看看如何用简单的 sin(x) 函数和多项式，再借助泰勒级数的强大能力，解决这个问题。

巴塞尔问题

巴塞尔问题起先在 1650 年就提出来了，它的目标在于求解某一离散无穷数列的和，具体来说，巴塞尔问题可以描述为如下：

如果读者们还记得高数，记得无穷级数，你就会发现巴塞尔问题其实就是一个幂级数求和问题。当时很多学者都在想方法去计算这个问题，但欧拉在 28 岁时就证明了它，使得数学界非常惊叹。欧拉最初的证明方法并不一定是非常严格的，但它是非常优美的，简洁的过程与新奇的想法，使得我们能体会到「数学之美」。

欧拉最初的想法来自 sinc(πx) 函数，他将该函数定义为如下：

函数的图像如下所示，当 x 趋向于 0 时，因为 sin(x) 与 x 的速度等同，它们相除最终会收敛到 1。之所以要构造这个函数，答案就藏在它的零点，即当 sinc(πx) = 0 时 x 的所有取值。

为了理解这一点，考虑如下四次多项式的零点，很明显当 x 分别等于 和 等常量的时候存在零点。

如果将上述展开为一般的多次方程，我们可以得到如下表达式。这里需要注意的是平方项前面的系数，它看起来有构造成巴塞尔问题的可能性，毕竟分母都是两个数相乘。

欧拉的策略就和它一样，只要构造成连乘的状态，我们就可以了解到方程的零点。如果某一个函数所有零点等同于另一个函数的所有零点，那么至少在零点附近，它们是近似的。这样就构建了个等式，只要一边有巴塞尔问题，它就是可解的。

虽然想法很好，但如果要类比巴塞尔问题，真实的展开式需要是一种超越函数（transcendental function），即变量之间的关系不能通过有限次的基本数学运算表示，例如 sin(x) 等三角函数就是超越函数。

超越函数

这种函数并不是指方程 4 那种有限的多项式函数，指数函数、三角函数及对数函数才是最出名的超越函数。

上图所示分别为指数函数，对数函数及三角函数的图像。之前已经介绍过 sinc(πx) 函数了，可以看出来，该函数的零点就是所有正负整数。

欧拉借助下面我们非常熟悉的数学转换来展开 sinc(x) 在零点的情况。

因为 sinc(πx)/πx 的零点为正负 n，其中 n 是自然数，那么根据 上文方程 3 的思想，该函数可以写为如下的连乘形式。这种形式展示了当 sinc(πx)/πx=0 时，它的所有根。

下一步只需要展开到平方项就行了，至于为什么，等一下就知道了。这个也好解决，分别用 1 和 -x^2 去乘以后面的项就行了，1 每次只能乘以一个二次项和所有零次项，才能保证它是最终二次项的系数。

现在等式右边已经完全展开了，我们可以看到平方项系数存在 1/n^2（n 为 1、2、3...），这就是最终需要计算的巴塞尔问题。但左边还没有展开，我们现在还算不出该级数的最终结果。

如果我们把等式左边的 x 移到右边，即产生了一个 x 三次方项，现在左边只剩下 sinc(πx)。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了吗？只需要把 sinc(πx) 展开到 x 的立方项，那么立方项的系数肯定是相等的，因此也就能解出巴塞尔问题了。

泰勒级数

泰勒级数使用无限项连加的形式来表示某一函数，每一项都是由该函数在某一点的 n 阶导数计算得来。我们可以理解为，泰勒级数采用无穷的子项去逼近某一个连续可导函数，每一个高阶导数，都是对该值的一点点逼近，最终收敛到该函数。

图 6. 当泰勒级数的数目不断增加，它最终将收敛于其表示的那个函数。图中黑色曲线代表 sin(x) 函数。其他曲线为其对应不同阶次的泰勒展开式，也就是最高次幂分别为 1，3，5，7，9，11 和 13 的多项式。

我们还记得，需要找的是逼近 sinc(πx) 立方项的系数，图 6 中的 7 个泰勒展开式具有如下形式：

现在方程 7 整个左边可以根据泰勒展开式表示为如下，我们需要抽取出 x 平方的系数。

我们可将式 8 看做具有无穷次幂的「伪多项式」，这样的伪多项式有无穷多个根，其对应的根由式 5 给出。但我们现在不想关心它的性质，我们只想用系数解出巴塞尔问题。

联系等式左右，解决问题

通过联立式 7 和式 9 sinc(x) 展开后的二次项系数，即可得到我们最初想要解决的巴塞尔问题：

不仅如此，欧拉的推导过程产生了著名的 Wallis 乘积公式。仅需将 x = 1/2 代入式 6 并求其倒数即可得到：

现在，我们跟着欧拉解决了巴塞尔问题，整个思考过程不涉及复杂的数学技术与概念。只需要一步步跟着它的思路走，就能通过一系列巧妙的变换，解决数学难题。这样的思考过程、逻辑推理过程，正体现着数学之美。

参考链接：

https://towardsdatascience.com/on-the-beauty-of-math-f2453be9db84

https://www.bilibili.com/video/av20400157/