人工智能的数学基础（AI 基础）

人工智能的基础是数学，这一点已经是确定无疑的共识了。

但“数学”二字所包含的内涵与外延太广，到底其中的哪些内容和当前的人工智能技术直接相关呢？

今天我们就来看看入门人工智能所需要的数学知识。

人工智能必备高等数学知识点清单

AI 技术岗所要求的高等数学知识，大致可以分为四个方面： 微积分 、 概率统计 、 线性代数 ，和 最优化理论 。

每个分领域都至少是一本书（也可以是一摞书）。 我们在这里暂且抽取和机器学习、深度学习相关的最基础部分，给大家做一下聚焦：

【微积分】

• 基础概念（极限、可微与可导、全导数与偏导数） ： 只要学微积分，就必须要明白的概念，否则后面什么都无法继续学习。

• 函数求导 ： 求导是梯度的基础，而梯度是 AI 算法的基础，因此求导非常重要！ 必须要搞清楚概念，并学会常见函数的导函数求法。

• 链式法则 ： 符合函数求导法则，反向传播算法的理论基础。

• 泰勒公式和费马引理 ： 这两者也是梯度下降法的基础组成，重要程度与求导相同。

• 微分方程及其求解 ： 很重要，是部分机器学习模型求解的必备知识。

• 拉格朗日乘子法和对偶学习 ： 理解 SVM/SVR 的理论基础。 SVM/SVR 作为机器学习模型的常用“中坚力量”，其重要程度不言而喻。

【概率统计】

• 简单统计量（个数、最大值、最小值、中位数、均值、方差）及其物理意义 ： 概率统计的概念基础。

• 随机和抽样 ： 随机——概率统计成立的基础； 抽样——统计的方法。

• 频率和概率，以及概率的基本概念 ： 搞清什么是概率，它和频率的区别与联系。

• 几种 常见的概率分布及公式 （平均分布、二项分布、正态分布……）

• 参数估计 ： 只知道大致的分布，不知道具体的参数怎么办？ 没关系，我们可以根据估计一下。 其中最重要的是 极大似然估计 。

• 中心极限定理 ： 如果不知道某事物的概率分布该怎么办?没关系，就当它符合正态分布好了。 可是为什么能这样近似呢?因为我们有中心极限定理呀。

• 假设验证 ： 到底假设得对不对呢？ 我们根据样本来验证一下。

• 贝叶斯公式 ： 太重要啦！ 是它使得我们可以根据先验概率来预测后验概率。 而 朴素贝叶斯 公式自己就是朴素贝叶斯模型本身啊。

• 回归分析 ： 想想那么多名字里有“回归”的模型吧!

• 状态转移网络 ： 概率链、隐马尔可夫模型和条件随机场。

【线性代数】

• 向量与标量 ： 用向量和标量表示事物特征的差别是什么？

• 向量空间，向量性质及向量的几何意义 ： 所谓高维低维指的是什么？ 同一个向量能否存在于不同的向量空间里？ 向量的移动、转向和拉伸是如何做到的？

• 线性函数 ： 什么是线性函数，它具备怎样的性质？

• 矩阵和矩阵运算 ： 矩阵出现的目的是什么？ 掌握矩阵的基础运算（与常数/向量/矩阵的加法和乘法）。

• 特殊矩阵（方阵、实对称矩阵、（半）正定/负定矩阵等）及其性质 ： 根据不同的性质，我们可以划分出哪些特殊矩阵，它们都有哪些特殊性质？

• 特征值和特征向量 ： 定义、性质，以及特征值求解。

• 用矩阵求解微分方程 。

• 正交 ： 什么是正交？ 函数的正交，向量的正交，和超平面的正交分别是如何形式化表达的，又具备怎样的物理意义。

【最优化方法】

• 凸函数与极值 ： 搞清楚什么是凸函数，凸函数与极值的关系，极值和最值的关系等。

注意 ： 国内不同教科书对于“凸”的定义存在不一致的情况，有些书上把其他书上说的“凸函数”叫做“凹函数”。

直观而言，我们一向说的“凸函数”是那类一维自变量情况下看起来像个“U”，二维自变量下像个碗的那种函数。

• 最优化 ： 什么是最优化问题？ 什么是最优化方法？ 无限制条件和有限制条件下的最优化方法基本原理分别是什么？

• 梯度下降法 ： 最基础最常用的最优化方法，以及其他若干最优化方法的基础，务必全面掌握。

• 其他最优化算法 ： 了解其他一些常用最优化方法，例如，牛顿法、共轭梯度法、线性搜索算法、模拟退火算法、遗传算法等。

人工智能背后的数学大神们

上述知识点，看起来好像有点吓人哦，不像是“我能记得住”的样子。

有没有办法能够轻松愉快不累且高效地掌握人工智能（机器学习/深度学习）领域要用到的数学知识呢？

这里推荐一种笔者在探索中逐步发现的，简单直接又有些趣味的方法：以数学家为主线学习高等数学知识 —— 也就是，“以人为轴”学AI数学。

我们先来看看下面这些画像吧： 

你能认出几个？

他们分别是（从左到右从上到下依次）：牛顿、高斯、贝叶斯、费马、泰勒、拉格朗日、拉普拉斯、傅立叶，和伯努利。

说实话，现在全球数以千万计的 AI 技术人员真应该把这些大佬供起来，说咱们的饭碗都是他们赏的也不为过。

• 牛顿 大神发明了微积分；

• 辅之以 费马引理 、 泰勒公式 ，奠定了如今一切 AI 最优化算法工程实现的理论基础。

• 拉格朗日 乘子法为限定条件下多元函数的最优化问题提供了解法。

• 数学王子 高斯 在概率论和线性代数领域的非凡贡献不胜枚举，仅仅高斯分布一项就堪称概率论之抗鼎模型。

• 贝叶斯 让我们可以用既往经验预测未来。

• 伯努利 家族不仅在概率论领域贡献颇丰，就连他家二弟卖给 洛必达 的“洛必达法则”亦是求解具有不定型的极限的不二法门。

• 拉普拉斯 算子于微积分和线性代数而言都是非常重要的基石。

• 傅立叶 变换在时域信号和频域信号之间的桥梁作用成就了整个语音领域。

当然，还有下面这位：

• 莱布尼茨 与牛顿分别独立发明了微积分，他提出的符号系统一直沿用至今。 他同样是西方二进制算数体系的提出者和线性代数的重要奠基人。

当然，无论微积分、概率统计还是线性代数，都不是在一日之内形成的学科，都经历了数百年乃至上千年大量人类顶级头脑的思考和探索，对其做出贡献的数学家灿若繁星。

对照我们亟待掌握的知识点，以这些理论的提出者为基点，沿着数学史学习之，并同步了解数学发展的进程。 顺便还可以以大神们之间的交往和恩怨等八卦作为润滑剂。

如此一路学来，既多了许多趣味，又能追本溯源，了解到这些理论提出的现实背景（例如： 物理学的发展及其对数学工具的需求）。

在学理论的同时了解这一理论最初的作用域和当时解决的实际问题，对于我们理解其中各类概念的物理意义有着极大的帮助。

“众智汇” 愿景

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