基于矩阵分解算法的推荐系统实战

设：

U 为所有用户集合

P 为所有物品集合

R 为用户对物品的喜好程度

模型 Model(R) = U * P

算法核心：

通过用户对不同物品的打分，来预测用户对其他物品的喜好程度。此处并没有考虑用户和物品的属性，如：用户年龄，性别，学历，工作等，物品价格，品类，外观等。

通过用户对物品的打分，可以建立一个推荐值矩阵，之后就可以通过运算该矩阵来预测用户喜好，即为矩阵分解算法！

矩阵分解：

将推荐值矩阵 R 分解为矩阵 U 和 矩阵 P，使得 U 和 P 的乘积得到的新矩阵 R* 中的元素与 R 中的已知元素的值非常接近，那幺 R* 中对应于 R 中的未知元素的值就是预测值。

推荐值矩阵：

时间简史 万历三十年 大秦帝国 红楼梦 数学简史 小明 1 4 1 小王 2 2 4 小李 4 1 4 小张 5 1 4

推荐值矩阵关键性问题：

1. 1. 初始值获取，数据的收集

1. 1. 从推荐值矩阵中已知数据预测未知数据

1. 1. 建立评价系统，用于检验推荐系统的效果

收集数据

一般可以采取网络爬虫的方式，比如对于数据的评分，可以爬取豆瓣读书上的数据，也可以在自己可以控制的网站上做埋点等来收集用户信息。

预测未知数据

关键挑战：

当用户和物品的数量都比较大时，推荐之矩阵通常会是一个稀疏矩阵（在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵），说明大多数用户可能并没有对大多数物品表达喜好。

冷启动问题，是每一个推荐系统都需要面对的问题。

矩阵分解实例：

即：

对比最左侧的元素矩阵和最右侧的预测矩阵，预测矩阵中位于原始矩阵缺失数值位置的元素值，即为预测值。

同时也可以得到

即：对于在 ij 位置上的物品的喜好数据，可以通过第 i 个用户的画像向量和第 j 个物品的画像向量代表。

使用图形表示如下：

其中 k 在数学上的意义为矩阵分解的秩，在业务上的意义为 影响用户给物品评分的 k 个影响因子，当前我们无法直接知道 k 的值，在模型训练时，一般采取交叉验证的方式来寻找最优的 k 值。

我们可以使用“和方差”来作为损失函数

这里通过已知的{ }，计算“和方差”，使之达到最小，即预测值越接近真实值。以此得出的 U 和 P 的值就是我们需要的值。

损失函数的梯度

单独取出误差

对误差 L 分别在 U 和 P 上求导可得

现在我们已经知道了损失函数的梯度（导数），下面就可以使用梯度下降法来求解 U 和 P 的值。

梯度下降法

随机选取一个起始点，然后在负梯度的方向上持续训练，直到损失函数的梯度越来越接近零，此时即可取得最优解。

引入正则化

为了防止过拟合的发生，对损失函数加入正则化参数

λ>0

这样，当 U 和 P 都保证比较小的情况下，U 或者 P 的数值剧烈变化时，U 和 P 的点积也不会有太大的变化。

最终的损失函数为：

+

最终损失函数的梯度为：

运用梯度下降法求最优解

设定梯度下降的速率 γ（学习速率）和 k 值，并随机初始化 U 和 P，重复训练，直到误差满意为止。

评估推荐系统

最基本的就是，通过训练集训练模型，通过测试集测试模型，如果模型在测试集上的表现达到我们的预期，则该模型可以上线部署。 一般采用平均绝对离差来验证模型预测值的好坏

n:测试集中推荐值的总数量

:真实的用户 u 对物品 p 的推荐值

:预测的用户 u 对物品 p 的推荐值

在线的 A/B 测试

项目实战

数据集格式如下：

1	1119	9.000000
1	167	8.000000
1	6265	8.000000
1	1440	9.000000
1	1427	9.000000
1	5404	8.000000
1	259	7.000000
1	4156	8.000000
2	419	9.000000
2	415	10.000000
2	2834	9.000000
2	228	10.000000
2	107	10.000000
2	440	9.000000
2	44	10.000000
2	455	10.000000

第一列为用户 ID，第二列为物品 ID，第三列为对应的打分（1-10）

总体代码基于 surprise 库，可以先安装

pip install scikit-surprise

下面导入相关库和数据集

import numpy as np
import surprise
from surprise import BaselineOnly
from surprise import Dataset
from surprise import Reader
from surprise import accuracy
from surprise.model_selection import cross_validate
from surprise.model_selection import train_test_split

reader = Reader(line_format='user item rating', sep='\t', rating_scale=(1, 10))
data = Dataset.load_from_file('book_ratings.dat.txt', reader=reader)
# 将数据随机分为训练和测试数据集
trainset, testset = train_test_split(data, test_size=.25)

根据公式，定义算法函数

class MatrixFactorization(surprise.AlgoBase):
    def __init__(self, lr, n_epochs, n_factors, lmd):
        self.lr = lr  # 梯度下降法的学习速率
        self.n_epochs = n_epochs  # 梯度下降法的迭代次数
        self.n_factors = n_factors  # 分解的矩阵的秩，即影响用户打分的隐藏因子
        self.lmd = lmd  # 正则化参数
    
    def fit(self, trainset):
        print("Fitting data...")
        # 随机初始化 u 和 p 矩阵
        u = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_users, self.n_factors))  # 均值为0，方差为0.1，（行数，列数）
        p = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_items, self.n_factors))
        
        # 梯度下降法
        for _ in range(self.n_epochs):
            print("Round:", _)
            for i, j, r_ij in trainset.all_ratings():
                # 这里就是套用上面得到的公式
                # u_old[i] = u[i]
                err = r_ij - np.dot(u[i], p[j])
                u[i] -= -self.lr * err * p[j] + self.lr * self.lmd * u[i]
                p[j] -= -self.lr * err * u[i] + self.lr * self.lmd * p[j]
        
        self.u, self.p = u, p
        self.trainset = trainset
        print("End fitting!")
        
    def estimate(self, i, j):
        if self.trainset.knows_user(i) and self.trainset.knows_item(j):
            return np.dot(self.u[i], self.p[j])
        else:
            return self.trainset.global_mean  # 返回平均值

最后再训练、预测，评估

algo = MatrixFactorization(0.005, 60, 3, 0.2)
algo.fit(trainset)
predictions = algo.test(testset)
accuracy.mae(predictions)

可以调整学习速率，迭代次数，隐藏因子个数和正则化参数等来训练不同的模型，并评估结果，获取满意的模型。