图论与图学习（一）：图的基本概念

本文是其中第一篇，介绍了图的一些基础知识并给出了 Python 示例。更多文章和对应代码可访问：https://github.com/maelfabien/Machine_Learning_Tutorials。

本文涵盖以下主题：

• 图是什么？

• 如何存储图？

• 图的类型和性质

• Python 示例

首先进行一些准备工作，打开JupyterNotebook，导入以下软件包：

后面的文章会使用 networkx 最新的 2.0 版本。networkx 是一个用于复杂网络的结构、动态和功能的创建、操作和研究的 Python 软件包。

import numpy as np
import random
import networkx as nx
from IPython.display import Image
import matplotlib.pyplot as plt

我会尽量以实用为目标，努力阐释每个概念。

图是什么？

图是互连节点的集合。

举个例子，一个简单的图可能是这样：

节点（node）用红色标出，通过黑色的边（edge）连接。

图可用于表示：

• 社交网络

• 网页

• 生物网络

• …

我们可以在图上执行怎样的分析？

• 研究拓扑结构和连接性

• 群体检测

• 识别中心节点

• 预测缺失的节点

• 预测缺失的边

• …

过几分钟你就能明白所有这些概念。

我们首先在我们的笔记本中导入第一个预构建的图：

# Load the graph
G_karate = nx.karate_club_graph()
# Find key-values for the graph
pos = nx.spring_layout(G_karate)
# Plot the graph
nx.draw(G_karate, cmap = plt.get_cmap('rainbow'), with_labels=True, pos=pos)

空手道图

这个「空手道」图表示什么？Wayne W. Zachary 在 1970 到 1972 年这三年中研究的一个空手道俱乐部的社交网络。该网络包含了这个空手道俱乐部的 34 个成员，成员对之间的连接表示他们在俱乐部之外也有联系。在研究期间，管理员 JohnA 与教练 Mr.Hi（化名）之间出现了冲突，导致俱乐部一分为二。一半成员围绕 Mr.Hi 形成了一个新的俱乐部，另一半则找了一个新教练或放弃了空手道。基于收集到的数据，除了其中一个成员，Zachary 正确分配了所有成员在分裂之后所进入的分组。

图的基本表示方法

图 G=(V, E) 由下列要素构成：

• 一组节点（也称为 verticle）V=1,…,n

• 一组边 E⊆V×V

• 边 (i,j) ∈ E 连接了节点 i 和 j

• i 和 j 被称为相邻节点（neighbor）

• 节点的度（degree）是指相邻节点的数量

节点、边和度的示意图

• 如果一个图的所有节点都有 n-1 个相邻节点，则该图是完备的（complete）。也就是说所有节点都具备所有可能的连接方式。

• 从 i 到 j 的路径（path）是指从 i 到达 j 的边的序列。该路径的长度（length）等于所经过的边的数量。

• 图的直径（diameter）是指连接任意两个节点的所有最短路径中最长路径的长度。

举个例子，在这个案例中，我们可以计算出一些连接任意两个节点的最短路径。该图的直径为 3，因为没有任意两个节点之间的最短路径的长度超过 3。

一个直径为 3 的图

• 测地路径（geodesic path）是指两个节点之间的最短路径。

• 如果所有节点都可通过某个路径连接到彼此，则它们构成一个连通分支（connected component）。如果一个图仅有一个连通分支，则该图是连通的（connected）。

举个例子，下面是一个有两个不同连通分支的图：

一个有两个连通分支的图

• 如果一个图的边是有顺序的配对，则该图是有向的（directed）。i 的入度（in-degree）是指向 i 的边的数量，出度（out-degree）是远离 i 的边的数量。

有向图

• 如果可以回到一个给定节点，则该图是有环的（cyclic）。相对地，如果至少有一个节点无法回到，则该图就是无环的（acyclic）。

• 图可以被加权（weighted），即在节点或关系上施加权重。

• 如果一个图的边数量相比于节点数量较小，则该图是稀疏的（sparse）。相对地，如果节点之间的边非常多，则该图是密集的（dense）。

Neo4J 的关于图算法的书给出了清晰明了的总结：

总结（来自 Neo4J Graph Book）

我们看看如何用 Python 检索一个图的这些信息：

n=34
G_karate.degree()

.degree() 属性会返回该图的每个节点的度（相邻节点的数量）的列表：

DegreeView({0: 16, 1: 9, 2: 10, 3: 6, 4: 3, 5: 4, 6: 4, 7: 4, 8: 5, 9: 2, 10: 3, 11: 1, 12: 2, 13: 5, 14: 2, 15: 2, 16: 2, 17: 2, 18: 2, 19: 3, 20: 2, 21: 2, 22: 2, 23: 5, 24: 3, 25: 3, 26: 2, 27: 4, 28: 3, 29: 4, 30: 4, 31: 6, 32: 12, 33: 17})

然后，隔离度的值：

# Isolate the sequence of degrees
degree_sequence = list(G_karate.degree())

计算边的数量，但也计算度序列的度量：

nb_nodes = n
nb_arr = len(G_karate.edges())
avg_degree = np.mean(np.array(degree_sequence)[:,1])
med_degree = np.median(np.array(degree_sequence)[:,1])
max_degree = max(np.array(degree_sequence)[:,1])
min_degree = np.min(np.array(degree_sequence)[:,1])

最后，打印所有信息：

print("Number of nodes : " + str(nb_nodes))
print("Number of edges : " + str(nb_arr))
print("Maximum degree : " + str(max_degree))
print("Minimum degree : " + str(min_degree))
print("Average degree : " + str(avg_degree))
print("Median degree : " + str(med_degree))

得到：

Number of nodes : 34
Number of edges : 78
Maximum degree : 17
Minimum degree : 1
Average degree : 4.588235294117647
Median degree : 3.0

平均而言，该图中的每个人都连接了 4.6 个人。

我们可以绘出这些度的直方图：

degree_freq = np.array(nx.degree_histogram(G_karate)).astype('float')
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.stem(degree_freq)
plt.ylabel("Frequence")
plt.xlabel("Degre")
plt.show()

度的直方图

我们后面会看到，度的直方图相当重要，可用于确定我们看到的图的种类。

如何存储图？

你可能会好奇我们如何存储复杂的图结构？

存储图的方式有三种，取决于你想用它做什么：

• 存储为边列表：

1   2
1   3
1   4
2   3
3   4
...

我们存储有边连接的每一对节点的 ID。

• 使用邻接矩阵，这通常是在内存中加载的方式：

邻接矩阵

对于图中的每一个可能的配对，如果两个节点有边相连，则设为 1。如果该图是无向图，则 A 是对称的。

• 使用邻接列表：

1 : [2,3, 4]
2 : [1,3]
3:  [2, 4]
...

最好的表示方式取决于用法和可用的内存。图通常可存为 .txt 文件。

图可能包含一些扩展：

• 加权的边

• 节点/边上加标签

• 加上与节点/边相关的特征向量

图的类型

在这一节，我们将介绍两种主要的图类型：

• Erdos-Rényi

• Barabasi-Albert

Erdos-Rényi 模型

定义

在 Erdos-Rényi 模型中，我们构建一个带有 n 个节点的随机图模型。这个图是通过以概率 p 独立地在节点 (i,j) 对之间画边来生成的。因此，我们有两个参数：节点数量 n 和概率 p。

Erdos-Rényi 图

在 Python 中，networkx 软件包有用于生成 Erdos-Rényi 图的内置函数。

# Generate the graph
n = 50
p = 0.2
G_erdos = nx.erdos_renyi_graph(n,p, seed =100)
# Plot the graph
plt.figure(figsize=(12,8))
nx.draw(G_erdos, node_size=10)

这会得到类似于下图的结果：

生成的图

度分布

令 pk 为随机选取的节点的度为 k 的概率。由于图构建所使用的随机方式，这种图的度的分布是二项式的：

二项式节点度分布

每个节点的度数量的分布应该非常接近于均值。观察到高数量节点的概率呈指数下降。

degree_freq = np.array(nx.degree_histogram(G_erdos)).astype('float')
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.stem(degree_freq)
plt.ylabel("Frequence")
plt.xlabel("Degree")
plt.show()

为了可视化该分布，我将所生成的图中的 n 增大到了 200。

度分布

描述性统计

• 平均度由 n×p 给出。在 p=0.2 和 n=200 时，中心在 40 左右

• 度期望由 (n−1)×p 给出

• 平均值附近的度最多

我们用 Python 来检索这些值：

# Get the list of the degrees
degree_sequence_erdos = list(G_erdos.degree())

nb_nodes = n
nb_arr = len(G_erdos.edges())

avg_degree = np.mean(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])
med_degree = np.median(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])

max_degree = max(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])
min_degree = np.min(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])

esp_degree = (n-1)*p

print("Number of nodes : " + str(nb_nodes))
print("Number of edges : " + str(nb_arr))

print("Maximum degree : " + str(max_degree))
print("Minimum degree : " + str(min_degree))

print("Average degree : " + str(avg_degree))
print("Expected degree : " + str(esp_degree))
print("Median degree : " + str(med_degree))

会得到类似这样的结果：

Number of nodes : 200
Number of edges : 3949
Maximum degree : 56
Minimum degree : 25
Average degree : 39.49
Expected degree : 39.800000000000004
Median degree : 39.5

这里的平均度和期望度非常接近，因为两者之间只有很小的因子。

Barabasi-Albert 模型

定义

在 Barabasi-Albert 模型中，我们构建一个有 n 个节点的随机图模型，其有一个优先连接（preferential attachment）分量。这种图可通过以下算法生成：

• 步骤 1：以概率 p 执行步骤 2，否则执行步骤 3

• 步骤 2：将一个新节点连接到随机均匀选取的已有节点

• 步骤 3：以与 n 个已有节点成比例的概率将这个新节点连接到这 n 个已有节点

这个图的目标是建模优先连接（preferential attachment），真实世界网络中常会观察到这一点。（注：优先连接是指根据各个个体或对象已有的量来分配某个量，这通常会进一步加大优势个体的优势。）

在 Python 中，networkx 软件包有用于生成 Barabasi-Albert 图的内置函数。

# Generate the graph
n = 150
m = 3
G_barabasi = nx.barabasi_albert_graph(n,m)
# Plot the graph
plt.figure(figsize=(12,8))
nx.draw(G_barabasi, node_size=10)

这会得到类似下图的结果：

Barabasi-Albert 图

可以看到，某些节点的度显然比其它节点多很多！

度分布

令 pk 为随机选取的节点的度为 k 的概率。则这个度分布遵循幂律：

幂律度分布

这个分布是重尾分布。其中有很多节点的度都很小，但也有相当数量的节点有较高的度。

degree_freq = np.array(nx.degree_histogram(G_barabasi)).astype('float')
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.stem(degree_freq)
plt.ylabel("Frequence")
plt.xlabel("Degree")
plt.show()

度分布

据说这个分布是无标度的（scale-free），平均度不能提供什么信息。

描述性统计

• 如果 α≤2，平均度为一个常量，否则就会发散。

• 最大度遵照以下顺序：

# Get the list of the degrees
degree_sequence_erdos = list(G_erdos.degree())

nb_nodes = n
nb_arr = len(G_erdos.edges())

avg_degree = np.mean(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])
med_degree = np.median(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])

max_degree = max(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])
min_degree = np.min(np.array(degree_sequence_erdos)[:,1])

esp_degree = (n-1)*p

print("Number of nodes : " + str(nb_nodes))
print("Number of edges : " + str(nb_arr))

print("Maximum degree : " + str(max_degree))
print("Minimum degree : " + str(min_degree))

print("Average degree : " + str(avg_degree))
print("Expected degree : " + str(esp_degree))
print("Median degree : " + str(med_degree))

会得到类似以下的结果：

Number of nodes : 200
Number of edges : 3949
Maximum degree : 56
Minimum degree : 25
Average degree : 39.49
Expected degree : 39.800000000000004
Median degree : 39.5

总结

我们介绍了主要的图类型以及用于描述图的最基本的属性。下一篇文章我们将深入图分析/算法以及用于分析图的不同方法。图可用于：

• 实时欺诈检测

• 实时推荐

• 精简法规遵从性

• 复杂网络的管理和监控

• 身份和访问管理

• 社交应用/功能

• …

扩展阅读：

• Neo4j 的图算法全面指南，Mark Needham & Amy E. Hodler： https://go.neo4j.com/rs/710-RRC-335/images/Comprehensive-Guide-to-Graph-Algorithms-in-Neo4j-ebook-EN-US.pdf

• Networkx 文档： https://networkx.github.io/documentation/stable/

原文链接：https://towardsdatascience.com/introduction-to-graphs-part-1-2de6cda8c5a5