在量子力学中，参考系变换真的存在吗？ - 知乎

在量子力学中，参考系变换真的存在吗？ - 知乎

首先需要明确这里面所有名词的含义，避免概念歧义。（如有学习过量子力学，全当复习或直接跳过进入正文）

量子力学：指Von Neumann的公理体系

1.态空间是复射影平面

2.所有可观测量是厄米算符

3.时间演化遵循薛定谔方程

4.全同粒子 （和本讨论无关）

5.测量由完备的投影算子刻画，投影算子的期望值就是测量到该投影算子的概率。

（任何诠释必须遵照此公理体系，区别仅在测量后是否坍缩、如何坍缩，但概率必须与诠释无关，也就是实验测量的概率）

参考系：指时空中的类时矢量场。但由于本文只讨论非相对论量子力学，并无类时限制。

参考系变换：指时空流形上的微分同胚变换。本文中特指伽利略变换，即包括时间平移、空间平移、空间旋转与匀速运动。加速参考系是一个更有趣的问题，涉及广义相对论与量子力学的关系，在此则不作讨论。（参考楼下答主提到的Unruh效应）

存在：存在是一个量词，是一个一阶谓词逻辑命题的前缀。在一阶逻辑体系下，存在必须和事态一同使用才能构成有意义的句子。所谓事态即原子事实的逻辑组合，在这里是指参考系变换的自洽性。【学物理的同学请忽略......】

所以下面的回答讨论的是，在量子力学体系中中是否存在变换（即幺正算符），使得它与参考系的变换（伽利略变换）一一对应？这就涉及了群和群的表示知识。

另：作者本人曾在5年前就疑惑过此问题，当时寻参考教材未果，后来看到温伯格的量子场论才明白。如果哪位同学知道有非相对论量子力学教材介绍过这个问题的，烦请推荐。

————————————————

非相对论量子力学的协变性问题是一个有趣的问题。通过下面的介绍，我希望读者能够认识到：

1. 非相对论量子力学是伽利略协变的。
2. 波函数在伽利略变换下是协变的，但需要添加额外的相位。
3. 量子态构成伽利略群的一个投影表示，质量是这个投影表示的中心荷。

PART I 薛定谔方程的协变性

让我们考虑薛定谔方程

在如下坐标变换下：

薛定谔方程似乎不是协变的：

多出来一个一阶导数项。为了使得薛定谔方程仍然成立，伽利略变换下波函数必须变化。但我们又不能改变波函数的模平方， 因为它对应物理的可观测量（概率密度）。

因此，波函数的变换是添加一个与位置和时间相关的相位：

将这个表达式代入薛定谔方程

其中势能场是经典场，在伽利略变换下不变：

可知相位满足的条件是

不妨考虑t=0的瞬间，

我们即知道，变换后的波函数和变换前的波函数的概率密度是一样的，它们都满足薛定谔方程。

PART II 伽利略变换的表示

事实上，上面的推导可以非常简单。利用狄拉克符号，我们可以将一个伽利略变换（用速度v标记）和一个希尔伯特空间的幺正算符联系起来：

为了使读者方便阅读，这里已经将所有算符上面加上hat以示区分。显然，这个算符在位置表象下就是上面从psi到psi'的变换。

这个算符的作用是

，

它就是动量空间中的平移算符！确实，一个伽利略变换的作用就是改变粒子的速度（和动量）。注意到

上面定义的幺正变换是自洽的：连续两次变换参考系等于一次变换参考系。在数学上，伽利略变换构成群，包括平移，旋转和boost（使用与参考系有相对速度的参考系）。上面的幺正算符构成了boost变换的一个表示。注意质量是出现在表示中的，这意味非相对论量子力学中粒子的质量是不变的（即不考虑衰变等情况）。

Part III 加入平移算符

更有趣的是当我们考虑平移算符的情况。我们显然要求薛定谔方程在平移下保持不变。

对应的波函数变换是

对应的幺正算符是

。

现在我们考虑一个变换参考系的过程，我们可以先做boost（以速度v移动参考系），再做平移；或者我们先做平移，再做boost。它们最终对应的坐标变换是一样的，都是

它在量子态（或波函数）上的作用是什么？

我们现在有两个答案，分别对应上面两个变换顺序，即

上面两个变换事实上是不相等的！利用 Baker-Hausdorff公式，我们可以得到

.

说明以上两个变换相差一个整体相位（与态无关）。但我们知道，整体相位在量子力学中无可观测效应（态空间是complex projective plane），所以以上两个变换其实是等价的！

至此，我们说明了，1+1维的非相对论量子力学是伽利略协变的。每一个伽利略变换在态空间中都有幺正算子对应。

Part IV 投影表示与中心扩张

以上我们实际上构造了伽利略群的一个投影表示。所谓投影表示就是满足

投影表示的出现源于量子力学中整体相位的非物理性。在所有量子理论中，对称性都是允许投影表示的 （如果对称群有非平凡的投影表示的话）。

非常重要的例子包括：SO（3）群（空间旋转）的半整数角动量表示,共形场论中共形变换的表示，仿射李代数（Kac-Moody）的表示等等。

通常，投影表示总是和一个“中心荷”相关。在这里的例子中，中心荷就是质量。我们发现质量出现在投影表示的相位 中。

中心荷在数学上可以理解为使得对称群扩张的生成元。在物理上，中心荷意味着量子系统有着比经典系统更大的对称性。这就是超选择规则：不允许存在不同中心荷的态的叠加 （否则上述相位就不是整体的）。例如，在上述的非相对论量子力学例子里，粒子的质量不能处在叠加态中。在3+1维系统中，SO（3）群的中心扩张决定了粒子不可能处在费米子和玻色子的叠加态。在共形场论中，不同中心荷对应的场论解耦合。

在现代凝聚态物理中，投影表示与拓扑物相的关系非常密切。例如，在1+1维有能隙的体系中，对称性保护拓扑相（SPT）的分类就和对称群的投影表示完全一致，它们都是由对称群的二阶上同调群决定的。【2】

因此，最后的结论是：参考系变换不仅仅存在，而且它与量子力学最重要的原理之一（即整体相位的非物理性）相互依存！参考系变换给出了量子力学中对称群投影表示的一个例子，而投影表示广泛存在于量子理论中。

参考资料：

【1】 Weinberg, the quantum theory of fields Sect. 2.4

【2】 Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, and Xiao-Gang Wen, Phys. Rev. B 83, 035107 (2011)